Nullmenge < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Do 25.06.2009 | | Autor: | MaRaQ |
| Aufgabe | | Sei [mm]M \subset \IR[/mm] eine Nullmenge. Zeigen Sie, dass N := [mm]\{y \in \IR : \exists x \in M mit y = x^2\}[/mm] ebenfalls eine Nullmenge ist. |
Diese Aufgabenstellung definiert ja zunächst mal eine stetige Funktion [mm]f:M \to N[/mm] mit [mm]x \mapsto x^2[/mm].
Meine grundlegende Beweisidee wäre nun, zu zeigen, dass diese Abbildung nicht nur die Punkte x aus M nach N abbildet, sondern auch die M überdeckenden Quader.
Wenn ich dann noch zeigen könnte, dass sich dadurch das Größenverhältnis des Volumens der Quader nicht grundlegend ändert, wäre auch N eine Nullmenge.
Allerdings, wie man an meinen etwas schwammigen Überlegungen vielleicht merkt, fällt es mir schwer, diese zu konkretisieren und mathematisch korrekt niederzuschreiben.
Gehen meine Überlegungen überhaupt in die richtige Richtung - oder übersehe ich einen anderen, einfacheren Ansatz? Ich wäre Tipps und Denkanstöße sehr dankbar!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:11 Do 25.06.2009 | | Autor: | pelzig |
> Meine grundlegende Beweisidee wäre nun, zu zeigen, dass
> diese Abbildung nicht nur die Punkte x aus M nach N
> abbildet, sondern auch die M überdeckenden Quader.
> Wenn ich dann noch zeigen könnte, dass sich dadurch das
> Größenverhältnis des Volumens der Quader nicht grundlegend
> ändert, wäre auch N eine Nullmenge.
Es gibt einen Satz der besagt, das Bild einer Nullmenge unter einer [mm] C^1-Abbildung [/mm] ist wieder eine Nullmenge. Der Beweis funktioniert sogar so ähnlich wie du es angedeutet hast.
Gruß, Robert
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