Nullhomotope Wege < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:47 So 05.02.2006 | | Autor: | t.sbial |
Hallo,
ich hätte mal ne ganz allgemeine Frage dazu. Und zwar folgendes:
Sei z.B der Raum einfach zusammenhängen wie C oder R². Dann können alle gechlossenen wege zu Punkten zusammengezogen werden. Sind frei homotop zu konstanten wegen. Für Jordanwege auch sehr anschaulich. Wie siehts aber mit nicht einfachen Wegen aus? Z.B der Lemiskate? Wie kann man sich da die stegtige Transformierung vorstellen. Oder wie kann man einsehen, dass ein Kreis mit hinreichend großem Radius zu einer Lemiskate frei homotop ist?
Gruß
T.SBial
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Kann man das mit der Lemniskate nicht z.B. so machen? Für [mm]I = [0,1][/mm] betrachte
[mm]H: \ I^2 \to \mathbb{R}^2 \, , \ \ (s,t) \mapsto \left( \ (1-s) \, \frac{2 \sqrt{2} \sin{(2 \pi t)}}{1 + \cos^2{(2 \pi t)}} \ , \ - (1-s) \, \frac{2 \sqrt{2} \sin{(2 \pi t)} \cos{(2 \pi t)}}{1 + \cos^2{(2 \pi t)}} \ \right)[/mm]
Dann ist [mm]H(0,t)[/mm] die volle Lemniskate, [mm]H(1,t)[/mm] die Punktkurve [mm](0,0)[/mm]. Die Lemniskate wird dabei durch eine zentrische Streckung vom Ursprung aus auf diesen zusammengezogen.
Oder stelle ich mir das irgendwie zu einfach vor?
Die Datei im Anhang kannst du dir mit dem ![[]](/images/popup.gif) Euklid-Programm anschauen.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: geo) [nicht öffentlich]
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