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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:44 Di 18.12.2007 | | Autor: | Interpol |
Man soll zeigen, dass [mm] a_{n} [/mm] eine Nullfolge ist
[mm] a_{n}= \bruch{3n-2}{n+2}; [/mm] g=3
Nun wollte ich das mit der Definition des Grenzwertes überprüfen. [mm] |a_{n}-g|< [/mm] ε
[mm] |\bruch{3n-2}{n+2} [/mm] -3| < ε
aber da kommt nur Mist raus, oder ich kann es nicht richtig auflösen. bzw. ich weiß gar nicht richtig, was den rauskommen müsste.
Bei einer anderen Aufgabe kam n = [mm] \bruch{1}{5 ε} [/mm] raus, aber was ist dadurch gezeigt? Dass die Folge konvergent ist? Was müsste rauskommen, wenn sie es nicht wäre?
Ich verstehe das nicht.
Und noch eine allgemeine Frage: Wenn ich bei einer monoton steigenden Folgen die Schranken bestimmen muss, wie komme ich dann auf die obere Schranke. Die untere zu bestimmen ist ja noch einfach, aber die obere? Oder kann man das nur machen, indem man mehrere Folgenglieder ausrechnet und dann schätzt?
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> Man soll zeigen, dass [mm]a_{n}[/mm] eine Nullfolge ist
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> [mm]a_{n}= \bruch{3n-2}{n+2};[/mm] g=3
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> Nun wollte ich das mit der Definition des Grenzwertes
> überprüfen. [mm]|a_{n}-g|<[/mm] ε
>
> [mm]|\bruch{3n-2}{n+2}[/mm] -3| < ε
>
> aber da kommt nur Mist raus, oder ich kann es nicht richtig
> auflösen.
Hm, Du machst doch sicher auch als erstes das Argument des Betrages gleichnamig und nimmst es auf einen Bruch. Dann sieht man
[mm]\left|\frac{3n-2}{n+2}-3\right|=\left|\frac{3n-3(n+2)}{n+2}\right|=\left|\frac{-8}{n+2}\right|\underset{n\uparrow \infty}{\longrightarrow} 0[/mm]
> bzw. ich weiß gar nicht richtig, was den
> rauskommen müsste.
Dass der Betrag der Differenz von Folgenglied und Grenzwert gegen $0$ geht. Weil für [mm] $\varepsilon [/mm] >0$ gilt
[mm]\left|\frac{-8}{n+2}\right|<\varepsilon \Leftrightarrow \frac{8-2\varepsilon}{\varepsilon} < n[/mm]
Kannst Du also für jedes noch so kleine [mm] $\varepsilon>0$ [/mm] ein [mm] $n_0$ [/mm] finden (etwa [mm] $n_0 [/mm] := [mm] \lceil\tfrac{8}{\varepsilon}\rceil$), [/mm] so dass für alle $n> [mm] n_0$ [/mm] gilt:
[mm]\left|\frac{3n-2}{n+2}-3\right|< \varepsilon[/mm]
Also konvergiert die Folge [mm] $\left(\frac{3n-2}{n+2}\right)_{n\in\IN}$ [/mm] für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] gegen $3$.
Man kann dies auch sehr gut sehen, wenn man Zähler und Nenner des allgemeinen Folgengliedes durch $n$ dividiert. Dann erhält man nämlich
[mm]\frac{3n-2}{n+2}=\frac{3-\frac{2}{n}}{1+\frac{2}{n}}[/mm]
Hier geht offenbar für [mm] $n\rightarrow \infty$ [/mm] der Zähler gegen $3$ und der Nenner gegen $1$, also der ganze Bruch gegen [mm] $\frac{3}{1}=3$.
[/mm]
> Und noch eine allgemeine Frage: Wenn ich bei einer monoton
> steigenden Folgen die Schranken bestimmen muss, wie komme
> ich dann auf die obere Schranke.
Ich fürchte, es gibt kein allgemeines Verfahren: allenfalls gibt es eine gewisse Zahl von Tricks zur Lösung typischer Schulaufgaben...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:31 Di 18.12.2007 | | Autor: | Interpol |
Vielen Dank für die Antwort!
Im Moment kapiere ich es leider nicht richtig.
Bzw. dieser Teil erschließt sich mir nicht:
> Kannst Du also für jedes noch so kleine [mm]\varepsilon>0[/mm] ein
> [mm]n_0[/mm] finden (etwa [mm]n_0 := \lceil\tfrac{8}{\varepsilon}\rceil[/mm]),
> so dass für alle [mm]n> n_0[/mm] gilt:
>
> [mm]\left|\frac{3n-2}{n+2}-3\right|< \varepsilon[/mm]
>
> Also konvergiert die Folge
> [mm]\left(\frac{3n-2}{n+2}\right)_{n\in\IN}[/mm] für [mm]n\rightarrow \infty[/mm]
> gegen [mm]3[/mm].
>
> Man kann dies auch sehr gut sehen, wenn man Zähler und
> Nenner des allgemeinen Folgengliedes durch [mm]n[/mm] dividiert.
> Dann erhält man nämlich
>
> [mm]\frac{3n-2}{n+2}=\frac{3-\frac{2}{n}}{1+\frac{2}{n}}[/mm]
>
Ich werde es mir morgen nochmal anschauen, vielleicht blicke ich dann besser durch...
Und noch eine Frage bzw. Fragen:
Normalerweise überprüfe ich die Konvergenz durch
Überprüfung von Monotonie [mm] (a_{n+1} [/mm] - [mm] a_{n}) [/mm] und durch
Vermuten und Nachweisen der Schranken.
Kann eine Folge monoton und nicht beschränkt sein?
Dann müsste ja eine falsche Aussage bei der Schranken-Überprüfung herauskommen, oder?
Das mit dem Epsilon, wende ich das nur an, um zu zeigen, dass eine Folge eine Nullfolge ist?
> Ich fürchte, es gibt kein allgemeines Verfahren: allenfalls
> gibt es eine gewisse Zahl von Tricks zur Lösung typischer
> Schulaufgaben...
>
Und verrät der Zauberer diese geheimen Tricks :D?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:29 Di 18.12.2007 | | Autor: | lenz |
also monoton steigend heißt : [mm] a_{n+1} \ge [/mm] a{n}
also z.b. [mm] a_{n}=n [/mm] das ist nicht beschränkt,
selbiges für monoton fallend, monoton heißt
monoton steigend oder fallend.
eine folge ist konvergent wenn ab einem wenn es einen index n gibt so dass
[mm] a_{n+1}-a{n} [/mm] < [mm] \varepsilon [/mm] gilt [mm] \forall \varepsilon.
[/mm]
eine beschränkte,monotone folge ist konvergent.
beschränkt heißt :es gibt eine zahl a so dass betrag [mm] a_{n} [/mm] < a [mm] \forall a_{n}
[/mm]
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Hallo Interpol!
> Und noch eine Frage bzw. Fragen:
> Normalerweise überprüfe ich die Konvergenz durch
> Überprüfung von Monotonie [mm](a_{n+1}[/mm] - [mm]a_{n})[/mm] und durch
> Vermuten und Nachweisen der Schranken.
Für derartige Folgen wie diese hier, kannst Du auch die  Grenzwertsätze anwenden.
> Kann eine Folge monoton und nicht beschränkt sein?
Ja, zum Beispiel: [mm] $a_n [/mm] \ := \ n$ .
> Dann müsste ja eine falsche Aussage bei der
> Schranken-Überprüfung herauskommen, oder?
Genau!
> Das mit dem Epsilon, wende ich das nur an, um zu zeigen,
> dass eine Folge eine Nullfolge ist?
Nein, das lässt sich für jede beliebige konvergente Folge anwenden.
Gruß vom
Roadrunner
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Vielen Dank!
Und noch eine Frage:
Wenn ich nun zeigen muss, dass eine Folge konvergent ist, dann kann ich das machen, indem ich
a) Überprüfung von Monotonie [mm] (a_{n+1} [/mm] > [mm] a_n [/mm] etc)- und durch Vermuten und Nachweisen der Schranken oder
b) mit diesem ominösen ε indem ich (1) die Schranken wie in a) vermute und nachweise und (2) einen Grenzwert vermute, diesen in [mm] |a_n [/mm] - g| < ε einsetze. Dann vereinfache ich [mm] |a_n [/mm] - g|, lasse n gegen [mm] +\infty [/mm] (muss ich plus unendlich und minus unendlich überprüfen?) gehen und wenn dann eine Nullfolge rauskommt, ist der vermutete Grenzwert richtig und damit die Folge konvergent
stimmt das?
oder kann ich b) (das mit dem ε) einfacher machen?
EDIT: Ich glaube b) stimmt nicht, denn bei dieser Aufgabe, bei der wir zeigen sollten, dass die Differnezfolge [mm] |a_n [/mm] - g| eine Nullfolge ist, haben wir als "Lösung":
dass alle Folgeglieder mit n > - [mm] \bruch{8}{ ε } [/mm] weniger als ε von 0 abweichen. Aber was soll das bedeuten?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 05:20 Do 20.12.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:10 Di 18.12.2007 | | Autor: | lenz |
was soll eigentlich eine nullfolge mit grenzwert 3 sein?
oder soll die folge [mm] a_{n}-3 [/mm] eine nullfolge sein?
nur so aus persöhnlichem interesse
lenz
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:01 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Somebody |
> was soll eigentlich eine nullfolge mit grenzwert 3 sein?
> oder soll die folge [mm]a_{n}-3[/mm] eine nullfolge sein?
> nur so aus persöhnlichem interesse
Du hast recht: in der ursprünglichen Aufgabenstellung war die Rede davon, dass man zeigen müsse, dass [mm] $a_n=\frac{3n-2}{n+2}$ [/mm] eine Nullfolge sei. Das ist natürlich nicht möglich: denn diese Folge konvergiert gegen $3$. Es handelt sich also um eine konvergente Folge, aber nicht um eine Nullfolge. Andererseits ist, wie Du richtig bemerkst, [mm] $a_n-3$ [/mm] eine Nullfolge. Das ist immer so: ist $g$ der Grenzwert der konvergenten Folge [mm] $a_n$, [/mm] dann ist [mm] $a_n-g$ [/mm] eine Nullfolge (und umgekehrt).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:36 Mi 19.12.2007 | | Autor: | Interpol |
Oh, das habe ich wohl falsch ausgedrückt. Du hast recht mit deiner Annahme.
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