Normierung u. Gramsche M. in C < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 02:22 Di 27.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
Hallo miteinander.
Ich bräuchte noch mal die Hilfe vom wem bezüglich zweier Aufgaben. (Mittwoch ist Klausur, und hab hier zwei Aufgaben einer Probeklausur)
Bei der ersten Aufgabe, bräuchtet ihr mir nur zu sagen, ob das Ergebniss so stimmt, und bei der zweiten bräuchte ich einen Tipp zum Ansatz.
Also: 1)
Normiere den Spaltenvektor [mm] \vektor{1+i \\ 1-i} [/mm] des [mm] \IC^{2} [/mm] und ergänze zu einer unitären Basis in U(2, [mm] \IC) \subset M_2( \IC).
[/mm]
Lösung: Normierung durch Gram-Schmidhtverfahren.
[mm] v_1=u_1=(1+i,1-i).
[/mm]
Da wir nur einen Vektor haben, kann ich ihn hier direkt normieren:
[mm] ||v_1||= \wurzel{|1+i|^{2}+|1-i|^{2}}= \wurzel{|1|^{2}+|1|^{2}+|1|^{2}+|(-1)|^{2}}= \wurzel{4}=2
[/mm]
(an dieser Stelle wäre ich dankbar, wenn mir jemand nochmal korrekt aufschreiben könnte, wie [mm] ||v_1|| [/mm] definiert ist. Muß ich bei [mm] |1+i|^{2} [/mm] rechnen [mm] (1+i)^{2}, [/mm] und nach binomischerformel ausrechnen, oder [mm] rechnen:|1|^{2}+|1|^{2}? [/mm] ; denn bei der Berechnung des Betrags einer komplex. Zahl, a+bi, beziehe ich ja nur a und b in die Berechnugn mit ein )
[mm] q_1= \bruch{v_1}{||v_1||}=( \bruch{1+i}{2}, \bruch{1-i}{2})
[/mm]
[mm] q_1 [/mm] ist mein normierter Vektor. Da ich nun, zu einer unitären Matrix ergänzen soll, muß ich ja einen Vektor finden, der zum oben ausgerechneten, orhtogonal steht. Ich hab folgende Matrix so ausgerechnet: U= [mm] \pmat{ \bruch{1+i}{2} & \bruch{-1+i}{2} \\ \bruch{1-i}{2} & \bruch{-1+i}{2}}
[/mm]
Ist das so richtig?
So nu zu meiner zweiten Augabe: 2)Sei K ein Körper. Auf dem k-Vektorraum [mm] K^{2} [/mm] sei die Bilinearform F bezüglich einer Basis [mm] v_1,v_2 [/mm] durch die Matrix [mm] \pmat{ 2 & 5 \\ 4 & 3 } [/mm] gegeben. Was heißt das? Zeige, daß [mm] v_1-v_2,v_1+v_2 [/mm] eine weitere Basis ist, und berechne die Matrix von F bezüglich dieser neuen Basis.
So, also die Matrix ist ja die Gramsche-Matrix. Wenn ich jetzt die Vektoren [mm] v_1,v_2 [/mm] mit folgenden Komponenten [mm] v_1=(v_a,v_b),v_2=(v_c,v_d) [/mm] identifizier, so müsste ja folgendes [mm] gelten:=2,=5,=4,=3, [/mm] denn so ist die Gramsche Matrix ja definiert. Das prob. ist, ich bekomm die Basis nicht raus. Zumnidestens war das meine Idee, was zuerst zu tuen sei. Wie bekomme ich die Basis denn ausgerechnet? Ich hatte es durch "rumprobieren"versucht, aber war nicht so erfolgreich. Bin ich da viell. auf ne'm falschen Weg.
Wäre nett, wenn mir hier wer ne'n Tipp zu geben könnte.
Vielen Danke im Vorraus.
Viele Grüße Benno
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:04 Di 27.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> (an dieser Stelle wäre ich dankbar, wenn mir jemand nochmal
> korrekt aufschreiben könnte, wie [mm]||v_1||[/mm] definiert ist.
Hier wohl (es gibt i.a. mehrer Normen, die unterschieldich definiert sind, also gebe ich hier die Standarddefiniton wieder): [m]||(v_1,v_2,...,v_n)||=\sqrt{\sum_{i=1}^n v_i*\overlibe{v_i}}[/m].
> Muß
> ich bei [mm]|1+i|^{2}[/mm] rechnen [mm](1+i)^{2},[/mm] und nach
> binomischerformel ausrechnen, oder [mm]rechnen:|1|^{2}+|1|^{2}?[/mm]
Eiegntlich kannst du dir die Frage selber benatowrten - rechne mal auf beide Arten aus - was ist die eine Zahl dann nicht? (Wurzelziehen nicht vergessen!). Du hast das aber richtig gemacht.
> [mm]q_1[/mm] ist mein normierter Vektor. Da ich nun, zu einer
> unitären Matrix ergänzen soll, muß ich ja einen Vektor
> finden, der zum oben ausgerechneten, orhtogonal steht.
Ja.
> Ich
> hab folgende Matrix so ausgerechnet: U= [mm]\pmat{ \bruch{1+i}{2} & \bruch{-1+i}{2} \\ \bruch{1-i}{2} & \bruch{-1+i}{2}}[/mm]
Wie hast du das gemacht? Wenn man die beiden mittels unitären SKP multipliziert sind sie nicht orthogonal (wenn ich mich nicht verrechnet habe.)
> So nu zu meiner zweiten Augabe: 2)Sei K ein Körper. Auf dem
> k-Vektorraum [mm]K^{2}[/mm] sei die Bilinearform F bezüglich einer
> Basis [mm]v_1,v_2[/mm] durch die Matrix [mm]\pmat{ 2 & 5 \\ 4 & 3 }[/mm]
> gegeben. Was heißt das?
Da steht die Gramsche Matrix - und wie rechnet man die aus? Genau, bzgl. eienr Basis. Und wenn du nun eine andere Basis hast, kannst du bzgl derer auch wieder die Grmasche Matrix ausrechnen - da ist verlangt.
> So, also die Matrix ist ja die Gramsche-Matrix. Wenn ich
> jetzt die Vektoren [mm]v_1,v_2[/mm] mit folgenden Komponenten
> [mm]v_1=(v_a,v_b),v_2=(v_c,v_d)[/mm] identifizier, so müsste ja
> folgendes
Was hat das mit der Aufgabe zu tun?
> [mm]gelten:=2,=5,=4,=3,[/mm]
> denn so ist die Gramsche Matrix ja definiert.
Hm?
> Das prob.
> ist, ich bekomm die Basis nicht raus.
Die ist gegeben.
> Zumnidestens war das
> meine Idee, was zuerst zu tuen sei. Wie bekomme ich die
> Basis denn ausgerechnet?
Die steht schon da. Versuche doch die Grmasche Matrix bzgl. der neuen Basis zu berechnen - mit dem was du schon weisst, wie es sich auf der alten verhält. Jetzt Ideen?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Di 27.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
mhm..ja, hast recht. Was das Ergebniss meiner ersten Aufgabe betrifft. Was hab ich denn da nur gerechnet?!
Also mein neues (jetzt wohl hoffentlich richtiges Ergebniss) lautet:
U= [mm] \pmat{ \bruch{1+i}{2} & \bruch{1+i}{2} \\ \bruch{1-i}{2} & \bruch{-1+i}{2} } [/mm] Auf das Ergebniss bin ich gekommen, weil es nach einem Satz heißt: Die Zeilenvektoren bilden eine orthogonal Teilmenge des euklidischen Raumen. Also hab ich mir Zeilenvektoren gesucht, und geschaut, ob sie zu den schon vorhandenen, senkrecht stehen. (durch "ausprobieren") bin ich drauf gekommen.
Zu meiner zweiten Aufgabe: Hmm, wo meinst du denn, das da eine Basis steht. Es heißt doch nur, das [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] geg. ist. Ich hab doch keine Werte für diese Basisvektoren. Das einzige was ich gegeben hab, ist doch die Gramsche Matrix. Und die ist doch allg. so deffiniert: [mm] \pmat{ &... & \\ &...& }
[/mm]
So, die Werte der Skalarprodukte sind ja in der Matrix gegeben, nämlich [mm] \pmat{ 2 & 5 \\ 4 & 3 }Wo [/mm] steht denn da ne Basis? Seh ich nicht. Wäre nett wenn du mich da mal aufklären könntest..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:42 Di 27.09.2005 | | Autor: | SEcki |
> U= [mm]\pmat{ \bruch{1+i}{2} & \bruch{1+i}{2} \\ \bruch{1-i}{2} & \bruch{-1+i}{2} }[/mm]
Sieht gut aus. Aber man sollte auch ein allgemeines Verfahren kennen ...
> Auf das Ergebniss bin ich gekommen, weil es nach einem Satz
> heißt: Die Zeilenvektoren bilden eine orthogonal Teilmenge
> des euklidischen Raumen. Also hab ich mir Zeilenvektoren
> gesucht, und geschaut, ob sie zu den schon vorhandenen,
> senkrecht stehen. (durch "ausprobieren") bin ich drauf
> gekommen.
... nämlich: anstatt auszuprobieren, kannst du den Vektor zu einer Basis ergänzen, zB [m]e_1[/m] dazunehmen - und diesen dann mittels Gram-Schmidt zu einer ONB machen.
> Zu meiner zweiten Aufgabe: Hmm, wo meinst du denn, das da
> eine Basis steht. Es heißt doch nur, das [mm]v_1[/mm] und [mm]v_2[/mm] geg.
> ist.
Nein - die zweite Basis ist [m]\{v_1-v_2,v_1+v_2\}[/m]. Hilft daS?
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:34 Di 27.09.2005 | | Autor: | BennoO. |
hi..
mhm, ja viell. versteh ich es jetzt...
Also, meine erste Basis bzgl. der Gramschen Matrix ist [mm] B:={v_1,v_2}, [/mm] udn meien zweite Basis [mm] C:={(v_1-v_2),(v_1+v_2)}.
[/mm]
So, die Gramsche Matrix bezgl. der Basis B lautet : [mm] \pmat{ 2 & 5 \\ 4 & 3 }.
[/mm]
Das bedeutet ja, das folgendes gilt: [mm] =2, =4, =5, =3 [/mm] ja?!
Nun soll ich zur neuen Basis C wechseln, d.h, ich nehm die neuen Basisvektoren, und stell sie als linearkombination der alten Basisvektoren dar.
Das sähe dann folgendermaßen aus: [mm] (v_1-v_2)=r*v_1+s*v_2 [/mm] mit r,s aus [mm] \IR.
[/mm]
Daraus folgt:r=1,s=-1.
[mm] (v_1+v_2)=r*v_1+s*v_2. [/mm] Für r udn s ergibt sich: r=1, s=1.
Die Koeffizienten fasse ich als Spalten der Transformationsmatrix auf: [mm] T_B^{C}= \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }
[/mm]
Um nun die Darstellungsmatrix bezgl. der neuen Basis C zuberechnen gilt:
[mm] D:=(T_B^{C})^{T}A(T_B^{C})= \pmat{ 1 & -1 \\ 1 & 1 } \pmat{ 2 & 5 \\ 4 & 3 } \pmat{ 1 & 1 \\ -1 & 1 }= \pmat{ -4 & 0 \\ -2 & 14 } [/mm] Ist das so richtig?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 10:19 Mi 28.09.2005 | | Autor: | Julius |
Hallo Benno!
Das sieht sehr gut aus!
Machen wir doch einfach mal die Probe:
$ < [mm] v_1-v_2,v_1-v_2 [/mm] > = < [mm] v_1,v_1 [/mm] > - < [mm] v_1,v_2 [/mm] > - < [mm] v_2,v_1 [/mm] > + < [mm] v_2,v_2 [/mm] > =2-5-4+3 = -4$ ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
$< [mm] v_1-v_2,v_1+v_2 [/mm] > = < [mm] v_1,v_1 [/mm] > + < [mm] v_1,v_2 [/mm] > - < [mm] v_2,v_1 [/mm] > - [mm] [/mm] =2+5-4-3 = 0$
$< [mm] v_1+v_2,v_1-v_2 [/mm] > = < [mm] v_1,v_1 [/mm] > - < [mm] v_1,v_2 [/mm] > + < [mm] v_2,v_1 [/mm] > - < [mm] v_2,v_2 [/mm] > =2-5+4-3 = -2$
$< [mm] v_1+v_2,v_1+v_2 [/mm] > = < [mm] v_1,v_1 [/mm] > + < [mm] v_1,v_2 [/mm] > + < [mm] v_2,v_1 [/mm] > + < [mm] v_2,v_2 [/mm] > =2+5+4+3 = 14$
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]")
Liebe Grüße
Julius
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