Normen Eigenschaften < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Mo 24.11.2008 | | Autor: | valaida |
| Aufgabe | Beweis
||.|| und |||.||| Normen auf X (Vektorraum). Dann sind äquivalent:
a) Die Normen ||.|| und |||.||| sind äquivalent
b) Eine Folge ist eine ||.||-Nullfolge <=> die Folge ist eine |||.||| Nullfolge
c) Eine Folge ist konvergent bezüglich ||.|| <=> sie ist bezüglich |||.||| konvergent
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Hallo Leute,
ich muss schon zum zweiten Mal die Analysis 2 hören. Leider habe ich beim ersten Mal die Klausur nicht geschafft und versuche jetzt, den Stoff mal richtig zu verstehen. Deswegen habe ich mir hier angemeldet.
Wir haben in der Vorlesung geschrieben, dass
a) => b) => c) klar ist
Leider ist mir das nicht so wirklich klar, also mathematisch zumindest nicht,
Jetzt sind meine Fragen, wie würdet ihr a) => b) zeigen?
Und wie zeigt man b) => c).?
Freue mich über jegliche Hilfe.
valaida
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:58 Mo 24.11.2008 | | Autor: | fred97 |
Ich schreib Die mal auf, wie man a) => b) zeigt.
Die beiden Normen sind also äquivalent, d.h. es ex. a>0 und b>0 mit
a|||x||| [mm] \le [/mm] ||x|| [mm] \le [/mm] b|||x||| für jedes x in X
Sei [mm] (x_n) [/mm] eine Folge in X. Dann gilt
[mm] a|||x_n||| \le ||x_n|| \le b|||x_n||| [/mm] für jedes n in [mm] \IN
[/mm]
Da a und b positiv sind, folgt:
[mm] (||x_n||) [/mm] ist eine Nullfolge [mm] \gdw (|||x_n|||) [/mm] ist eine Nullfolge. Somit ist b) gezeigt.
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 Mo 24.11.2008 | | Autor: | valaida |
Hallo an alle.
Erst einmal danke fred97 für die so ausführliche Antwotz zu a) => b)
Jetzt erschließt sich für mich noch nicht ganz b) => c)
Viele Grüße
valaida
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Mo 24.11.2008 | | Autor: | pelzig |
Für [mm] $b)\Rightarrow [/mm] c)$ musst du zeigen, dass wenn eine beliebige Folge bzgl [mm] $||\cdot||$ [/mm] konvergiert, dann auch bzgl. [mm] $|||\cdot|||$, [/mm] und darfst dafür die Aussage b) benutzen. Also:
Sei [mm] $(x_n)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Folge, die bezüglich [mm] $||\cdot||$ [/mm] konvergiert. Dann gibt es ein [mm] $x\in [/mm] X$ derart, dass [mm] $(x_n-x)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge (bzgl. [mm] $||\cdot||$) [/mm] ist - das ist die Definition von Konvergenz. Nach Voraussetzung b) ist dann [mm] $(x_n-x)_{n\in\IN}$ [/mm] eine Nullfolge bzgl. [mm] $|||\cdot|||$, [/mm] also konvergiert [mm] $(x_n)$ [/mm] auch bzgl. [mm] $|||\cdot|||$ [/mm] - und zwar gegen denselben Grenzwert $x$.
Gruß, Robert
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 Mo 24.11.2008 | | Autor: | valaida |
Hallo pelzig
Ich danke auch dir für die ausführliche Antwort.
Endlich habe ich den Trick auch mal gesehen
Liebe Grüße
valaida
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