Normalverteilung Nachweis < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:18 Mo 03.04.2006 | | Autor: | Jennifer |
| Aufgabe | | An einem Gymnasium mit 500 Schülern bereitet der Schülerrat ein Schulfest vor. Für eine grobe Finanzplanung wird davon ausgegangen, dass ein Schüler mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,6 genau eine Karte für das Fest kauft. Die Zufallsgröße X beschreibe die Anzahl der von den Schülern des Gymnasiums gekaufter Karten. Zeige, dass die Zufallsgröße x näherungsweise als normalverteilt betrachtet werden kann. |
Hallo :),
ich hatte bis jetzt nur die Binomialverteilung und die wahrscheinlichkeitsverteilung behandelt. jedoch noch nicht die Dichtefuntkion. Wie kann ich denn nun diesen Nachweis führen? Wäre toll, wenn mir jemand einen Ansatz liefern könnte.
LG
Jennifer
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:28 Di 04.04.2006 | | Autor: | metzga |
Hallo,
es sind 500 Schüler, diese entscheiden sich unabhängig mit 0,6 für genau eine Karte.
Also kannst du dir 500 einzelne Zufallsvariablen vorstellen mit [mm]X_1\sim Bin(1;0,6)[/mm].
Und [mm]X=X_1+X_2+...+X_{500}[/mm].
So jetzt gibt es noch einen Satz, der zentrale Grenzwertsatz, der besagt, dass man eine
hinreichend große Folge von unabhängigen Zufallsvariablen mit gleichen Erwartungswert und gleicher Varianz, Normalverteilt standardisieren kann.
In Formel ausgedrückt heißt das so:
[mm]\frac{\sum_{i=1}^n X_i-n*\mu}{\sqrt{n*\sigma^2}}\ \overset{n \to \infty}{\longrightarrow}\ Z[/mm]
mit [mm]Z\sim N(0,1)[/mm].
bei Binomialverteilung ist ist ein hinreichendgroßes n bei etwa 30 bis 50 gegeben.
Der zentrale Grenzwertsatz ist weit über Schulniveau, der muss also nicht bewiesen werden.
Um jetzt zu zeigen, dass man X Normalverteilt approzimieren, kann müssen folgende Vorraussetzungen erfüllt sein:
1. Jeder Schüler wird unabhängig befragt (ist der Fall)
2. Bei jeden Schüler ist der Erwartungswert und die Varianz gleich (auch der Fall)
3. mindestens 50 Schüler (ja, n=500)
Da [mm]X=X_1+X_2+...+X_{500}[/mm], gilt für:
[mm]\frac{\sum_{i=1}^{500} X_i-500*0,6}{\sqrt{500*0,6*0,4}}\overset{a}{\sim}N(0,1)[/mm].
Das a steht für approximativ.
[mm]\frac{\sum_{i=1}^{500} X_i-500*0,6}{\sqrt{500*0,6*0,4}}[/mm] ist übrigens eine neue Zufallsvariable.
Und da [mm]\sum_{i=1}^{500} X_i=X[/mm] ist, kann man auch schreiben:
[mm]\frac{X-500*0,6}{\sqrt{500*0,6*0,4}}\overset{a}{\sim}N(0,1)[/mm].
mfg metzga
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