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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Do 03.01.2013 | | Autor: | bandchef |
| Aufgabe | Bei der Herstellung von Kondensatoren sei die Kapazität (gemessen in µF) in eine normalverteilte Zufallsgröße mit den Parametern [mm] \mu=5 [/mm] und [mm] \sigma [/mm] = 0,02 gegeben. Welcher Ausschussanteil ist zu erwarten, wenn die Kapazität
a) mindestens 4,98
b) höchstens 5,05 betragen soll
c) um maximal 0,03 vom Sollwert 5 abweichen darf |
Hi Leute,
die Aufgabe a) hat mir soweit keine Probleme bereitet:
$P(X [mm] \geq [/mm] 4,98) = P(4,98 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq +\infty) [/mm] = [mm] \Phi\left( \frac{4,98-5}{0,02} \right) [/mm] = ... = 15,87%$
die Aufgabe b) bereitet auch eher weniger Probleme, wobei ich mir nicht ganz sicher bin:
P(X [mm] \leq [/mm] 5,05) = [mm] P(-\infty \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 5,05) = [mm] \Phi\left( \frac{5,05-5}{0,02} \right) [/mm] = ... = 99,38%$ Die Wahrscheinlichkeit für einen fast 100% großen Ausschussanteil erscheint mir etwas hoch. Natürlich bin ich mir über das Komplementärereignis bewusst, aber wie komm ich von der Modellierung her drauf, dass ich hier das Komplementärereignis benötige?
die Aufgabe c) ist dann schon schwieriger:
$P(4,97 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 5,03) = P(X [mm] \leq [/mm] 5,03) - P(X [mm] \geq [/mm] 4,97) = P(X [mm] \leq [/mm] 5,03) - (1-P(X [mm] \leq [/mm] 4,97)) = ... ?$
Aufgrund einer angegebenen Lösung in Form des Endergebniss bei dieser Teilaufgabe, weiß ich, dass dieser Ansatz falsch ist. Aber wie erkläre ich das nun richtig? Ich hab hier zwei Mengen. Die Menge von 0 bis 4,97 und die Menge von 0 bis 5,03. Die Menge dazwischen interessiert mich. Nun ja, ist das an dieser Stelle wirklich so "trivial", dass ich einfach die kleinere Menge (also 0 bis 4,97) von der größeren Menge (also 0 bis 5,03) mengenmäßig abziehen muss und ich SOMIT keinen Grund für das Komplementärereignis bekomme?
Somit müsste doch nun das richtig sein:
$P(4,97 [mm] \leq [/mm] X [mm] \leq [/mm] 5,03) = P(X [mm] \leq [/mm] 5,03) - P(X [mm] \geq [/mm] 4,97) = P(X [mm] \leq [/mm] 5,03) - P(X [mm] \geq [/mm] 4,97)) = ... 86,64$
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:51 Do 03.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
wie ich schon sagte, das Umsetzen des Aufgabentextes ist die kritische Sache und da hapert es immer noch bei Dir bzw. bei der sauberen Schreibweise.
Schauen wir uns mal die Aufgabe a) an. Wenn die Kapazität mindestens 4,98 muF betragen soll und nach dem Ausschuss gefragt ist, sind alle Werte,die kleiner als 4,98 muF sind, Ausschuss. Das ist die Phi-Funktion mit dem von Dir angegebenen Argument, allerdings ist Sigma = 0,03 und dann komme ich auf einen Ausschussanteil von 25,46%. Die Angabe für die Wahrscheinlichkeit ist allerdings verkehrt, denn für den Ausschussanteil muss gelten P(X < 4,98).
Wenn bei b) die Kapazität höchstens 5,05 muF betragen darf, ist alles was darüber liegt, Ausschuss. Dieser Anteil ist
[mm] P(X > 5,05) = 1 - \Phi(\bruch{5,05-5}{0,03}) = 4,85\% [/mm]
Bei c) brauche ich als Ingenieur nicht lange zu rechnen, da ich weiss, dass in einer Sigma-Umgebung um den Mittelwert herum 68,27% aller Werte liegen. Ausschuss ist demzufolge alles, was außerhalb liegt und das sind 31,73%.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:11 Do 03.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Mit deinen Beispielen komm ich leider nicht zurecht.
Bei Aufgabe a) ist nach "mindestens 4,98" gefragt. Ich gehe davon aus, dass mit 4,98, 4,98 [mm] \mu [/mm] F gemeint sind!
Wenn der Aufgabensteller von mindestens 4,98 ausgeht, dann verstehe ich das, dass von 4,98 größerwerdend alles gefragt ist... Womit ich zu der Modellierung komme: $P(X [mm] \geq [/mm] 4,98) = 1-P(X [mm] \leq [/mm] 4,98) = ... = 15,87%$
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:20 Do 03.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Dann lies mal den gesamten Text. Es ist nach dem Ausschuss gefragt, wenn die Kapazität mindestens 4.98 muF betragen soll. Alles was kleiner ist, ist demzufolge Ausschuss. Außerdem hast Du mit einem Sigma von 0,02 gerechnet, 0,03 sind aber gegeben.
VG,
infinit
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:25 Do 03.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Ich entschuldige mich. Ich habe die Angabe falsch abgetippt. Es sind [mm] \sigma [/mm] = 0,02.
Da nun der Ausschuss "wichtig" ist und alles kleiner 4,98 der Ausschuss sein soll, dann ist doch das Komplementärereignis zu P(X [mm] \leq [/mm] 4,98) auch nicht falsch oder?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:39 Do 03.01.2013 | | Autor: | Infinit |
Hallo bandchef,
bei solchen Aufgaben lässt sich eigentlich immer ein Gegenereignis definieren, nur hat es in diesem Fall nichts mit der Aufgabenstellung zu tun.
Ich formuliere den Aufgabentext mal in Worten:
P(Kondensator ist Ausschuss) = P( Kondensator hat kleinere Kapazität als 4,98 muF) = Phi((4,98-5)/0,02) = 15,87%
Das Ergebnis stimmt, aber die Schreibweise muss nun mal auch okay sein.
Viele Grüße,
Infinit
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:42 Do 03.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Danke für deine Hilfe!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:29 Do 03.01.2013 | | Autor: | Diophant |
Hallo bandchef,
bitte setze nicht grundlos den Status einer Frage auf 'Unbeantwortet' zurück. Das hat ja doch alles seinen Sinn und Zweck hier, und der besteht im Wesentlichen darin, im Forum für eine möglichst gute Übersicht zu sorgen, auch und gerade für diejenigen, die Antworten verfassen.
Solche unnötigen Spielereien bedeuten dabei für die Helfer nur eines: unnötige Mehrarbeit. Und das kann ja auch nicht in deinem Interesse sein!
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:33 Do 03.01.2013 | | Autor: | bandchef |
Es war keine Absicht. Ich bin aus versehen auf den Statsu zurücksetzen gekommen als ich eigentlich den ersten thread ändern wollte!
Entschuldigung. kommt nicht mehr vor 
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