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Hallo!
Ich suche eine Literaturangabe zu einem bestimmten Satz für 2 normalverteilte Zufallsvariablen. Bis jetzt habe ich leider nur einen Artikel gefunden in dem dieser Satz benutzt wurde, aber die Quellenangabe dazu ist nicht zu bekommen. Es geht um den Satz:
Für 2 normalverteile Zufallsvariablen X,Y gilt:
Cov(expX,expY)= E(expX) E(expY) (exp(Cov(X,Y))-1)
Hat jemand eine Idee in welchem Buch man etwas dazu finden kann?
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Hallo Christian! 
> Ich suche eine Literaturangabe zu einem bestimmten Satz für
> 2 normalverteilte Zufallsvariablen. Bis jetzt habe ich
> leider nur einen Artikel gefunden in dem dieser Satz
> benutzt wurde, aber die Quellenangabe dazu ist nicht zu
> bekommen. Es geht um den Satz:
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> Für 2 normalverteile Zufallsvariablen X,Y gilt:
> Cov(expX,expY)= E(expX) E(expY) (exp(Cov(X,Y))-1)
>
> Hat jemand eine Idee in welchem Buch man etwas dazu finden
> kann?
Nein, weiß ich nicht. Aber ich habe eine Idee, das selbst zu beweisen:
[mm] $\exp(X)$ [/mm] bzw. [mm] $\exp(Y)$ [/mm] sind ja nach Voraussetzung lognormalverteilt. Die Erwartungswerte lauten daher
[mm] $E(\exp(X))=\exp(\mu_X+\sigma_X^2/2)$ [/mm] bzw.
[mm] $E(\exp(Y))=\exp(\mu_Y+\sigma_Y^2/2)$.
[/mm]
Jetzt eine Frage: Weißt Du was über die gemeinsame Verteilung von $(X,Y)$?
Ich nehme mal an, diese ist eine Normalverteilung. Dann ist auch $X+Y$ normalverteilt (vgl. z.B. Krengel, S. 150), und zwar mit Erwartungswert [mm] $\mu_X+\mu_Y$ [/mm] und Varianz [mm] $\sigma_X^2+\sigma_Y^2+2Cov(X,Y)$. [/mm] ALso ist [mm] $\exp(X+Y)$ [/mm] wiederum lognormalverteilt mit
[mm] $E(\exp(X+Y))=\exp(\mu_X+\mu_Y+\frac{1}{2}(\sigma_X^2+\sigma_Y^2+2Cov(X,Y)))$.
[/mm]
Insgesamt folgt
[mm]Cov(\exp(X)\exp(Y))=E(\exp(X)\cdot \exp(Y))-E(\exp(X))\cdot E(\exp(Y))[/mm]
[mm]=E(\exp(X+Y)) - E(\exp(X))\cdot E(\exp(Y))[/mm]
[mm]=\exp(\mu_X+\mu_Y+\frac{1}{2}(\sigma_X^2+\sigma_Y^2+2Cov(X,Y))) - E(\exp(X))\cdot E(\exp(Y))[/mm]
[mm]= E(\exp(X))\cdot E(\exp(Y))(\exp(Cov(X,Y))-1).[/mm]
Viele Grüße
Brigitte
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