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| Aufgabe | Eine Maschine funktioniert nur, wenn zwei voneinander unabhängige Bauteile A und B arbeiten. Lebensdauer dieser (in Stunden) ist normalverteilt mit [mm] \mu_{A}=360 [/mm] und [mm] \sigma_{A}=50 [/mm] und [mm] \mu_{B}=400, \sigma_{B}=25.
[/mm]
(a) Wie wahrscheinlich ist es das die Maschinen nach 400 Betriebstunden noch arbeiten?
(b) Teil A wird vor Teil B defekt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses? (Hinweis: Summe von unabhängigen normalverteilten Zufallsvektoren) |
Hallo,
(a) ist einfach zu rechnen.
(b) Hier hilft mir irgendwie der Hinweis nicht, denn wenn ich weiß dass A+B ~ [mm] N(360+400,50^{2}+25^{2}), [/mm] versteh ich nicht wie ich den Fall Teil A wird vor B defekt berechnen kann. Hoffe, jemand hat einen guten Tipp für mich.
mfg tom
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> Eine Maschine funktioniert nur, wenn zwei voneinander
> unabhängige Bauteile A und B arbeiten. Lebensdauer dieser
> (in Stunden) ist normalverteilt mit [mm]\mu_{A}[/mm] = 360 und
> [mm]sigma_{A}[/mm] = 50 und [mm]\mu_{B}[/mm] = 400, [mm]sigma_{B}[/mm] = 25.
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> (a) Wie wahrscheinlich ist es das die Maschinen nach 400
> Betriebstunden noch arbeiten?
> (b) Teil A wird vor Teil B defekt. Wie groß ist die
> Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses? (Hinweis: Summe von
> unabhängigen normalverteilten Zufallsvektoren)
> Hallo,
>
> (a) ist einfach zu rechnen.
> (b) Hier hilft mir irgendwie der Hinweis nicht, denn wenn
> ich weiß dass A+B ~ [mm]N(360+400,50^{2}+25^{2}),[/mm] versteh ich
> nicht wie ich den Fall Teil A wird vor B defekt berechnen
> kann. Hoffe, jemand hat einen guten Tipp für mich.
hallo tom,
"A fällt vor B aus" bedeutet [mm] T_A
$\ [mm] T_A\ [/mm] <\ [mm] T_B\quad\gdw\quad T_A-T_B\ [/mm] <\ 0$
Wenn es dir also gelingt, die Verteilung der Differenz
der Zufallsvariablen [mm] T_A [/mm] und [mm] T_B [/mm] zu beschreiben, bist du
praktisch am Ziel !
LG
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> > Eine Maschine funktioniert nur, wenn zwei voneinander
> > unabhängige Bauteile A und B arbeiten. Lebensdauer dieser
> > (in Stunden) ist normalverteilt mit [mm]\mu_{A}[/mm] = 360 und
> > [mm]sigma_{A}[/mm] = 50 und [mm]\mu_{B}[/mm] = 400, [mm]sigma_{B}[/mm] = 25.
> >
> > (a) Wie wahrscheinlich ist es das die Maschinen nach 400
> > Betriebstunden noch arbeiten?
> > (b) Teil A wird vor Teil B defekt. Wie groß ist die
> > Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses? (Hinweis: Summe von
> > unabhängigen normalverteilten Zufallsvektoren)
>
>
> > Hallo,
> >
> > (a) ist einfach zu rechnen.
> > (b) Hier hilft mir irgendwie der Hinweis nicht, denn
> wenn
> > ich weiß dass A+B ~ [mm]N(360+400,50^{2}-25^{2}),[/mm] versteh ich
> > nicht wie ich den Fall Teil A wird vor B defekt berechnen
> > kann. Hoffe, jemand hat einen guten Tipp für mich.
>
>
> hallo tom,
>
> "A fällt vor B aus" bedeutet [mm]T_A
>
> [mm]\ T_A\ <\ T_B\quad\gdw\quad T_A-T_B\ <\ 0[/mm]
>
> Wenn es dir also gelingt, die Verteilung der Differenz
> der Zufallsvariablen [mm]T_A[/mm] und [mm]T_B[/mm] zu beschreiben, bist du
> praktisch am Ziel !
>
> LG
Hallo, danke erstmal für die Antwort,
wenn ich das jetzt Richtig verstehe, sage ich
[mm] P(T_{A} [/mm] - [mm] T_{B} [/mm] < 0) = P(D < 0 )
D ~ [mm] N(360-400,\wurzel{50^{2}+25^{2}})
[/mm]
das ergibt eine theta(0.924) = 0.8212 ... allerdings steht in der Lösung, dass 0.763 herauskommen sollte, also bin ich irgendwo noch auf dem Holzweg, vl kannst du mir noch einen Tipp geben.
mfg tom
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> Hallo, danke erstmal für die Antwort,
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> wenn ich das jetzt richtig verstehe, sage ich
> [mm]P(T_{A}[/mm] - [mm]T_{B}[/mm] < 0) = P(D < 0 )
> D ~ [mm]N(360-400,\wurzel{50^{2}+25^{2}})[/mm]
Genau.
> das ergibt ein theta(0.924) = 0.8212 ... allerdings steht
> in der Lösung, dass 0.763 herauskommen sollte, also bin ich
> irgendwo noch auf dem Holzweg, vl kannst du mir noch einen
> Tipp geben.
In deiner Rechnung sehe ich nicht, wie du auf
die Zahl 0.924 gekommen bist. An deren Stelle
habe ich
[mm] \bruch{40}{\wurzel{50^2+25^2}}\approx [/mm] 0.7155
LG
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> > Hallo, danke erstmal für die Antwort,
> >
> > wenn ich das jetzt richtig verstehe, sage ich
>
> > [mm]P(T_{A}[/mm] - [mm]T_{B}[/mm] < 0) = P(D < 0 )
>
> > D ~ [mm]N(360-400,\wurzel{50^{2}+25^{2}})[/mm]
>
> Genau.
>
> > das ergibt ein theta(0.924) = 0.8212 ... allerdings steht
> > in der Lösung, dass 0.763 herauskommen sollte, also bin ich
> > irgendwo noch auf dem Holzweg, vl kannst du mir noch einen
> > Tipp geben.
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> In deiner Rechnung sehe ich nicht, wie du auf
> die Zahl 0.924 gekommen bist. An deren Stelle
> habe ich
>
> [mm]\bruch{40}{\wurzel{50^2+25^2}}\approx[/mm] 0.7155
>
> LG
ich habe anstatt [mm] \wurzel(50^{2}+25^{2}) [/mm] mit [mm] \wurzel(50^{2}-25^{2}) [/mm] gerechnet, hab mich hier vertippt. Es erschien mir logischer die Erwartungswerte und die Variazn zu subtrahieren als einmal zu addieren und einmal zu subtrahieren.
Könntest du mir kurz erklären wieso mann die Varianzen dennoch addiert?
mfg tom
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| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:51 Mo 08.12.2008 | | Autor: | Al-Chwarizmi |
> ich habe anstatt [mm]\wurzel(50^{2}+25^{2})[/mm] mit
> [mm]\wurzel(50^{2}-25^{2})[/mm] gerechnet, hab mich hier vertippt.
> Es erschien mir logischer die Erwartungswerte und die
> Varianzen zu subtrahieren als einmal zu addieren und einmal
> zu subtrahieren.
> Könntest du mir kurz erklären wieso man die Varianzen
> dennoch addiert?
>
> mfg tom
Hallo Tom,
Diese Frage habe ich insgeheim erwartet  *schmunzel*
Dahinter steckt tatsächlich eine interessante Frage !
A und B sind normalverteilte, unabhängige Zufallsgrössen.
Bildet man ihre Summe, so ist diese auch wieder normal-
verteilt, und es addieren sich sowohl ihre Erwartungswerte
als auch ihre Varianzen:
S=A+B
E(S)=E(A+B)=E(A)+E(B)
V(S)=V(A+B)=V(A)+V(B)
Schreibt man nun diese Gleichungen nicht als Summen,
sondern als Differenzen, so hat man:
B=S-A
E(B)=E(S-A)=E(S)-E(A)
V(B)=V(S-A)=V(S)-V(A)
Soweit alles klar, nicht wahr ?
Nun betrachten wir statt der Summe die Differenz von
A und B:
D=A-B
E(D)=E(A-B)=E(A)-E(B)
V(D)=V(A-B)=V(A)-V(B)
oder ???
Das war deine Überlegung (und irgendwann auch meine),
aber sie ist falsch ! Die richtige Überlegung geht so:
Um die Verteilung von D=A-B zu erhalten, betrachten wir
zunächst die Grösse M:=-B. Im Beispiel hat M natürlich
den Erwartungswert E(M)=-E(B)=-400 und die gleiche
Standardabweichung wie B, also [mm] \sigma_M=\sigma_B=25,
[/mm]
und damit die Varianz V(M)=V(B)=625.
Dann bekommen wir für die Differenz D:
D=A-B=A+M
E(D)=E(A-B)=E(A+M)=E(A)+E(M)=E(A)-E(B)
V(D)=V(A-B)=V(A+M)=V(A)+V(M)=V(A)+V(B)
Nun besteht zwischen den beiden fett gedruckten
Gleichungen ein offensichtlicher Widerspruch !
Aber wo genau um Himmels Willen soll da ein
Denkfehler liegen ?
(dies wäre eine interessante, aber etwas anspruchsvolle
Prüfungsfrage ...)
Ich möchte die Antwort noch nicht verraten, damit jeder
sie selber finden kann
Viele Grüße !
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> Nun betrachten wir statt der Summe die Differenz von
> A und B:
> D=A-B
> E(D)=E(A-B)=E(A)-E(B)
V(D)=V(A-B)=V(A)-V(B)
> oder ???
> Das war deine Überlegung (und irgendwann auch meine),
> aber sie ist falsch ! Die richtige Überlegung geht so:
> Um die Verteilung von D=A-B zu erhalten, betrachten wir
> zunächst die Grösse M:=-B. Im Beispiel hat M natürlich
> den Erwartungswert E(M)=-E(B)=-400 und die gleiche
> Standardabweichung wie B, also [mm]\sigma_M=\sigma_B=25,[/mm]
> und damit die Varianz V(M)=V(B)=625.
> Dann bekommen wir für die Differenz D:
>
> D=A-B=A+M
>
> E(D)=E(A-B)=E(A+M)=E(A)+E(M)=E(A)-E(B)
V(D)=V(A-B)=V(A+M)=V(A)+V(M)=V(A)+V(B)
>
> Nun besteht zwischen den beiden fett gedruckten
> Gleichungen ein offensichtlicher Widerspruch !
> Aber wo genau um Himmels Willen soll da ein
> Denkfehler liegen ?
LÖSUNG:
Wenn A und B unabhängige normalverteilte Zufallsgrössen
sind, so ist auch die Differenz D=A-B normalverteilt, und es ist
E(D)=E(A)-E(B)
Aus der Unabhängigkeit von A und B folgt aber keines-
wegs die Unabhängigkeit von B und D , aus welcher man
dann weiter schliessen könnte dass V(B)+V(D)=V(A)
und V(D)=V(A)-V(B).
Im Gegensatz dazu darf man aber aus der Unabhängig-
keit von A und B auf die von A und M (mit M=-B)
schliessen. Darauf stützt sich die obige (richtige)
Rechnung.
Gruß al-Chw.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:20 Mi 10.12.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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