Normalverteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:00 Di 01.07.2008 | | Autor: | cauchy |
| Aufgabe | | Sei X eine [mm] N(\mu, \sigma) [/mm] -verteilte Zufallsvariable. Seien a,b [mm] \in \IR [/mm] mit a>0. Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable aX+B [mm] N(a\mu [/mm] +b, [mm] a\sigma) [/mm] -verteilt ist. |
Hallo Leute, diese Aufgabe sieht eigentlich ganz einfach aus... ich krieg sie trotzdem nicht hin.
Die Normalverteilung wurde bei uns im Skript wie folgt definiert:
[mm] $$\int_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{2\pi}\cdot \sigma}}\cdot e^{-\bruch{(t- \mu)^2}{2 \sigma ^2}}$$
[/mm]
Wenn ich jetzt von der ZV aX+B ausgehe, muss ich wahrscheinlich nur t durch z. B. at+b ersetzen? Das hab ich schon mal ausprobiert, bringt mich aber irgendwie auch nicht weiter. Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
Gruß, cauchy
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> Sei X eine [mm]N(\mu, \sigma)[/mm] -verteilte Zufallsvariable. Seien
> a,b [mm]\in \IR[/mm] mit a>0. Zeigen Sie, dass die Zufallsvariable
> aX+B [mm]N(a\mu[/mm] +b, [mm]a\sigma)[/mm] -verteilt ist.
> Hallo Leute, diese Aufgabe sieht eigentlich ganz einfach
> aus... ich krieg sie trotzdem nicht hin.
> Die Normalverteilung wurde bei uns im Skript wie folgt
> definiert:
>
> [mm]\int_{-\infty}^{\infty}{\bruch{1}{\wurzel{2\pi}\cdot \sigma}}\cdot e^{-\bruch{(t- \mu)^2}{2 \sigma ^2}}[/mm]
Genau so wurde dies kaum definiert: dieses Integral ist konstant $1$. Aber man könnte sagen, dass $X$ genau dann [mm] $N(\mu,\sigma)$ [/mm] verteilt ist, wenn für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] gilt:
[mm]\mathrm{P}(X\leq x)=\int\limits_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\;dt[/mm]
> Wenn ich jetzt von der ZV aX+B ausgehe, muss ich
> wahrscheinlich nur t durch z. B. at+b ersetzen? Das hab ich
> schon mal ausprobiert, bringt mich aber irgendwie auch
> nicht weiter. Für einen Tipp wäre ich sehr dankbar.
Nun möchtest Du also zeigen, dass $aX+b$ [mm] $N(a\mu+b,a\sigma)$-verteilt [/mm] ist, das heisst, dass gilt:
[mm]\mathrm{P}(aX+b\leq x)=\int\limits_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}a\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(t-(a\mu+b))^2}{2(a\sigma)^2}}\;dt[/mm]
Um dies zu zeigen, könntest Du so beginnen:
[mm]\mathrm{P}(aX+b\leq x)=\mathrm{P}\big(X\leq \frac{x-b}{a}\big)=\int\limits_{-\infty}^{\frac{x-b}{a}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\;dt[/mm]
Das erste Gleichheitszeichen gilt, weil das Argument von [mm] $\mathrm{P}$ [/mm] nur auf äquivalente Weise umgeformt wurde. Das zweite Gleichheitszeichen gilt, weil $X$ nach Voraussetzung [mm] $N(\mu,\sigma)$-verteilt [/mm] ist.
Als nächstes machst Du eine Substitution so, dass die obere Grenze des transformierten Integrals den gewünschten Wert hat, nämlich (siehe oben), $x$. Und dann hoffst Du, dass sich der transformierte Integrand ebenfalls auf die gewünschte Form bringen lässt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:51 Di 01.07.2008 | | Autor: | cauchy |
> [mm]\mathrm{P}(aX+b\leq x)=\int\limits_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}a\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(t-(a\mu+b))^2}{2(a\sigma)^2}}\;dt[/mm]
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> Um dies zu zeigen, könntest Du so beginnen:
>
> [mm]\mathrm{P}(aX+b\leq x)=\mathrm{P}\big(X\leq \frac{x-b}{a}\big)=\int\limits_{-\infty}^{\frac{x-b}{a}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\;dt[/mm]
>
> Das erste Gleichheitszeichen gilt, weil das Argument von
> [mm]\mathrm{P}[/mm] nur auf äquivalente Weise umgeformt wurde. Das
> zweite Gleichheitszeichen gilt, weil [mm]X[/mm] nach Voraussetzung
> [mm]N(\mu,\sigma)[/mm]-verteilt ist.
> Als nächstes machst Du eine Substitution so, dass die
> obere Grenze des transformierten Integrals den gewünschten
> Wert hat, nämlich (siehe oben), [mm]x[/mm]. Und dann hoffst Du, dass
> sich der transformierte Integrand ebenfalls auf die
> gewünschte Form bringen lässt.
>
OK, das leuchtet ein :) danke.
Kann ich auch alternativ zeigen, dass
[mm]\int\limits_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}a\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(t-(a\mu+b))^2}{2(a\sigma)^2}}\;dt[/mm] = [mm]\int\limits_{-\infty}^{\frac{x-b}{a}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\;dt[/mm]
gilt? Denn wie ich die Substitution ausführen soll, ist mir nicht so ganz klar...
LG, cauchy
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> > [mm]\mathrm{P}(aX+b\leq x)=\int\limits_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}a\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(t-(a\mu+b))^2}{2(a\sigma)^2}}\;dt[/mm]
>
> >
> > Um dies zu zeigen, könntest Du so beginnen:
> >
> > [mm]\mathrm{P}(aX+b\leq x)=\mathrm{P}\big(X\leq \frac{x-b}{a}\big)=\int\limits_{-\infty}^{\frac{x-b}{a}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\;dt[/mm]
>
> >
> > Das erste Gleichheitszeichen gilt, weil das Argument von
> > [mm]\mathrm{P}[/mm] nur auf äquivalente Weise umgeformt wurde. Das
> > zweite Gleichheitszeichen gilt, weil [mm]X[/mm] nach Voraussetzung
> > [mm]N(\mu,\sigma)[/mm]-verteilt ist.
> > Als nächstes machst Du eine Substitution so, dass die
> > obere Grenze des transformierten Integrals den gewünschten
> > Wert hat, nämlich (siehe oben), [mm]x[/mm]. Und dann hoffst Du, dass
> > sich der transformierte Integrand ebenfalls auf die
> > gewünschte Form bringen lässt.
> >
> OK, das leuchtet ein :) danke.
> Kann ich auch alternativ zeigen, dass
>
> [mm]\int\limits_{-\infty}^x\frac{1}{\sqrt{2\pi}a\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(t-(a\mu+b))^2}{2(a\sigma)^2}}\;dt =
\int\limits_{-\infty}^{\frac{x-b}{a}}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\mathrm{e}^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}\;dt[/mm]
>
> gilt?
Natürlich, dies ist alles, was Du zeigen musst.
> Denn wie ich die Substitution ausführen soll, ist mir
> nicht so ganz klar...
Wenn Du die Substitution $u=at+b$ machst, transformiert sich ein bestimmtes Integral doch so:
[mm]\int\limits_a^b f(u(t))\cdot u'(t)\; dt=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\; du[/mm]
Also transformieren sich die untere und obere Grenze Deines Integrals somit zu [mm] $u(-\infty)=-\infty$ [/mm] bzw. [mm] $u((x-b)/a)=a\frac{x-b}{a}+b=x$, [/mm] wie gewünscht.
Verbleibendes Problem: den Integranden auf die nötige Form [mm] $f(u(t))\cdot [/mm] u'(t)$ zu bringen. $u'(t)$ ist kein Problem, da eine Konstante. Des weiteren ist
[mm] [center]$\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}=\frac{(at-a\mu)^2}{2(a\sigma)^2}=\frac{(at+b-(a\mu+b))^2}{2(a\sigma)^2}$[/center]
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:42 Mi 02.07.2008 | | Autor: | cauchy |
Vielen Dank für die Tipps. Nachdem ich anfänglich damit nichts anfangen konnte, habe ich es jetzt dennoch hinbekommen :)
LG, cauchy
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:51 Mi 02.07.2008 | | Autor: | luis52 |
Noch ein Ansatz:
[mm] $P(aX+b\le y)=P(X\le(y-b)/a)$. [/mm] Und wie berechnet man
Wahrscheinlichkeiten fuer X?
vg Luis
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