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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:24 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Siril |
| Aufgabe | Es soll die Hypothese H0: p0 [mm] \le \bruch{1}{6} [/mm] [gegen die Hypothese H1: p1 > [mm] \bruch{1}{6} [/mm] bei einem Stichprobenumfang n=100 getestet werden.
Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich (oder auch Verwerfungsbereich) (für H0) für die Irrtumswahrscheinlichkeit [mm] \alpha [/mm] = 0,05! Berechnen Sie den Fehler 2. Art, wenn in Wirklichkeit p1=0,3 gilt! |
Hallo!
Diese Aufgabe habe ich als eine Art Referat bekommen. Leider haben wir bisher nur Binomialverteilung gemacht un das Thema der Normalverteilung nur angeschnitten. Deshalb komme ich dabei leider nicht weiter. Ich habe schon einnen Lösungsansatz (eben auf Grundlage der Binomialverteilung), aber das sind leider sehr unrealistische Ergebnisse. Ich darf den Grafiktaschenrechner TI-83+ verwenden.
Meine Vorläufigen Ergebnisse:
[mm] \mu [/mm] = n*p = [mm] \bruch{50}{3}
[/mm]
Sigma (Standartabweichung) = [mm] \wurzel{n*p*(1-p)} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{125}{9}} [/mm] > 3 [mm] \Rightarrow [/mm] Normalverteilung
Ablehnungsbereich = [12,13,...,100] > 0,05 (das habe ich mit dem GTR festgestellt)
Fehler 2. Art:
p1=0,3
Falsche Hypothese p0 [mm] \le \bruch{1}{6} [/mm] wird nicht verworfen.
P(x>k) = [mm] 1-P(x\lek) [/mm] = [mm] 1-normalcdf(0,11,\bruch{50}{3}, \wurzel{\bruch{125}{9}}) [/mm] = 1- 0,06419...
Eine Wahrscheinlichkeit für Fehler 2. Art von 93,58 %???
Ich denke, dass ich einen logischen Fehler darin habe, bzw. einen Fehler im Ablauf. Es wäre wirklich sehr nett, wenn mir jemand helfen könnte. Ihr müsst die Aufgabe nicht lösen (dass ist ja meine Aufgabe), aber Tipps wären schon sehr hilfreich! Danke!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hi, Siril,
> Es soll die Hypothese H0: p0 [mm]\le \bruch{1}{6}[/mm] [gegen die
> Hypothese H1: p1 > [mm]\bruch{1}{6}[/mm] bei einem Stichprobenumfang
> n=100 getestet werden.
> Ermitteln Sie den Ablehnungsbereich (oder auch
> Verwerfungsbereich) (für H0) für die
> Irrtumswahrscheinlichkeit [mm]\alpha[/mm] = 0,05! Berechnen Sie den
> Fehler 2. Art, wenn in Wirklichkeit p1=0,3 gilt!
> Diese Aufgabe habe ich als eine Art Referat bekommen.
> Leider haben wir bisher nur Binomialverteilung gemacht und
> das Thema der Normalverteilung nur angeschnitten.
Sollst Du die Aufgabe denn ÜBERHAUPT mit Normalverteilung lösen?
Bei n=100 arbeitet doch jeder "normale Mensch" sowieso mit der BINOMIALVERTEILUNG!
(Die Normalverteilung macht doch nur dann Sinn, wenn man mit der B-Vtlg. nicht mehr weiterkommt!)
> Deshalb komme ich dabei leider nicht weiter. Ich habe schon einen
> Lösungsansatz (eben auf Grundlage der Binomialverteilung),
> aber das sind leider sehr unrealistische Ergebnisse. Ich
> darf den Grafiktaschenrechner TI-83+ verwenden.
> Meine Vorläufigen Ergebnisse:
> [mm]\mu[/mm] = n*p = [mm]\bruch{50}{3}[/mm]
> Sigma (Standartabweichung) = [mm]\wurzel{n*p*(1-p)}[/mm] =
> [mm]\wurzel{\bruch{125}{9}}[/mm] > 3 [mm]\Rightarrow[/mm] Normalverteilung
> Ablehnungsbereich = [12,13,...,100] > 0,05 (das habe ich
> mit dem GTR festgestellt)
1. Schreibweise:
(1) Bitte geschweifte, NICHT eckige Klammern! (sonst: Fehler!)
Du kannst schreiben: [12; [mm] 100]_{N} [/mm] oder { 12, 13, ..., 100 }, aber nicht das, was Du geschrieben hast!
(2) Was meinst Du mit ">0,05"? Wie so - bitte schön - eine MENGE (!) größer als 0,05 sein?!
Also: Da geht doch wohl bereits im Formalen so einiges durcheinander!
2. Rechnung selbst:
Das Ergebnis ist völlig falsch! Bitte schreib' mal Deine vollständige Lösung samt Teilschritten rein!
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Mi 05.03.2008 | | Autor: | Siril |
Ersteinmal: Danke an Zwerglein, für die schnelle Antwort!
Dann zu den angemerkten formalen Punkte: Mir ist schon klar, dass dort eine geschweifte Klammer hinghört. Zu kritisieren wären statt meinen formalen Kenntnissen eher meine PC-Kenntnisse, da ich diese Klammer nicht gefunden habe (mitleiweile habe ich sie schon, nachdem ich lautes Gelächter beim Nachfragen geerntet habe...). Und dass die Menge nicht größer als fünf sein kann, weiß ich eigentlich auch. Es war eher für mich als Hilfe gedacht, da ich den Ablehnungsbereich natürlich mithilfe der Irrtumswahrscheinlichkeit bestimmt habe [mm] (\alpha [/mm] 0,05). Und dann zur Normalverteilung: Unser Mathelehrer hat (unabhängig vom vernüftigen Schluss) uns gesagt, dass wir, wenn Sigma > 3 ist, dann automatisch Normalverteilung nehmen sollen... leider ist hier das Sigma größer als 3.
Nun zu meinem Rechenweg:
Bestimmen des Ablehnungsbereiches:
GTR -> y= -> normalpdf (x - [mm] Stetigkeitskorrekturfaktor;\mu;Sigma) [/mm] =normalpdf [mm] (x-0,5;\bruch{50}{3};\wurzel{\bruch{125}{9}}).
[/mm]
Das dann in der Tabelle nachschauen und wenn (wie dort genannt) Y2 > 0,05 wird, dort liegt die Grenze für den Ablehnungsbereich (deshalb habe ich zur Verständigung das noch dazu geschrieben). Im Genauen wäre das 12,6 -> also 12.
Um dann den Fehler 2.Art zu berechnen habe ich mir mit der Biniomialverteilung beholfen und versucht das zu übertragen. Und die Rechnung dazu habe ich schon aufgeschrieben:Falsche Hypothese p0 wird nicht verworfen.
P(x>k) = ... = 1- 0,06419...
Ich weiß, dass ich mich vermutlich blöd anstelle und ich bin dir wirklich dankbar, dass du mir trotzdem hilfst. Aber ich kann nicht meinen Mathelehrer fragen, da es ja ein Referat ist. Deshalb wäre es schön, wenn es mir jemand erklären könnte. Danke schön.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 03:05 Do 06.03.2008 | | Autor: | Zneques |
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Da p nur nach oben durch [mm] \bruch{1}{6} [/mm] begrenzt ist, ist es ein einseitiger Test.
Nun wird eine Stichprobe X ermittelt. Wenn alles normal läuft, würde man X im Bereich 0 bis [mm] \bruch{100}{6} [/mm] erwarten.
Da aber der Zufall mitspielt kann X auch etwas größer werden. Wir müssen somit herrausfinden ab welchen Werten aufwärts die Wahrscheinlichkeit für X unter den 5% Irrtumsw. liegen.
[mm] P(X\ge k)\le [/mm] 0,05 , für [mm] X\sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)
[/mm]
[mm] \gdw P(X
[mm] \gdw P(\bruch{X-\mu}{\sigma}<\bruch{k-\mu}{\sigma})= P(Y
also aus der Tabelle lesbar.
Für [mm] X
Wenn 12,6 dein Ergebnis ist, dann ist 12 im Annahmebereich und für 13 wird abgelehnt.
Übrigens ist [mm] \mu=\bruch{50}{3}=16,\overline{6}\ge [/mm] 13.
D.h. wenn X deine [mm] H_0-Hypothese [/mm] mit [mm] p_0=\bruch{1}{6} [/mm] erfüllt, dann erwartest du trotzdem eine Ablehnung ... hmm ....
Besser nochmal nachrechnen !
> Um dann den Fehler 2.Art zu berechnen habe ich mir mit der Biniomialverteilung beholfen...
Aha. Mal so, mal so wird aber nicht richtig sein.
> p0 wird nicht verworfen.
> P(x>k)
Nein. [mm] H_0 [/mm] wird doch nur dann nicht verworfen, wenn X<k.
Besser : P(X<k) für [mm] X\sim \mathcal{N}(\mu_{p_1},\sigma_{p_1}^2)
[/mm]
> = 1- 0,06419...
[mm] \approx [/mm] 0,95
Glaubst du wirklich die würden dir in der Schule Methoden beibringen die zu 95% Fehler hervorbringen ?
Ciao.
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Hi, Siril,
> Und dass die
> Menge nicht größer als fünf sein kann, weiß ich eigentlich
> auch. Es war eher für mich als Hilfe gedacht, da ich den
> Ablehnungsbereich natürlich mithilfe der
> Irrtumswahrscheinlichkeit bestimmt habe [mm](\alpha[/mm] 0,05).
Die muss aber KLEINER als 0,05 sein!
Warum solltest Du einen Bereich suchen, bei dem ein MINDEST(!)-Fehler rauskommt?!
> Und dann zur Normalverteilung: Unser Mathelehrer hat
> (unabhängig vom vernüftigen Schluss) uns gesagt, dass wir,
> wenn Sigma > 3 ist, dann automatisch Normalverteilung
> nehmen sollen... leider ist hier das Sigma größer als 3.
Auch wenn ich das für Unsinn halte
(1. der Wert der Binomialverteilung ist GENAUER,
2. die Normalverteilung macht MEHR ARBEIT!)
helfe ich Dir auf diesem Umweg natürlich auch!
> Nun zu meinem Rechenweg:
> Bestimmen des Ablehnungsbereiches:
> GTR -> y= -> normalpdf (x -
> [mm]Stetigkeitskorrekturfaktor;\mu;Sigma)[/mm] =normalpdf
> [mm](x-0,5;\bruch{50}{3};\wurzel{\bruch{125}{9}}).[/mm]
Schreib' doch erst mal einen mathematisch sinnvollen Ansatz:
Annahmebereich der Nullhypothese: { 0; ... ;x }
Ablehnungsbereich der Nullhypothese: { x+1; ... ; 100 }
P(X [mm] \ge [/mm] x+1) = 1 - P(X [mm] \le [/mm] x) < 0,05
P(X [mm] \le [/mm] x) > 0,95
(Wenn ich nun direkt in das Tafelwerk für die B-Vtlg. schaue, erhalte ich x=23 und bin fertig!)
Also von mir aus mit Näherung:
P(X [mm] \le [/mm] x) [mm] \approx \Phi(\bruch{x - 50/3 + 0,5}{\wurzel{125/9}}) [/mm] > 0,95
Im Tafelwerk nachschauen bringt:
[mm] \bruch{x - 50/3 + 0,5}{\wurzel{125/9}} [/mm] > 1,645 (Interpolation!)
Und diese Ungleichung löse nun nach x auf!
(PS: Ich erhalte: x > 22,297..)
mfG!
Zwerglein
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