Normalverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) für Interessierte  | | Datum: | 15:37 Sa 03.06.2006 | | Autor: | leet |
Behälter 20 Liter: Erwartungswert 20, Standardabweichung 0,4 und der Inhalt ist normalverteilt.
Behälter 50 Liter: Erwartungswert 50, Varianz 1,2 und der Inhalt ist normalverteilt.
Behälter 100 Liter: Inhalt der 20 Liter Behälter werden in 100 Liter Behälter umgeschüttet (5 * 20 Liter Behälter = 1* 100 Liter Behälter), es geht beim umschütten nichts verloren.
Frage 1: Es werden 1000 Liter Flüssigkeit bestellt, diese wird in 25 "20 Liter Behältern" und 10 "50 Liter Behältern" ausgeliefert.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält der Empfänger 992 Liter Flüssigkeit?
Frage 2: Es werden wieder 1000 Liter bestellt, diesmal wird in 4 Behältern zu 100 Liter und 12 Behältern zu 50 Liter geliefert. Aus jedem 100 Liter Behälter werden vor Auslieferung 0,5 Liter abgezapft.
Wie hoch ist die Wahrscheinlicheit, dass die Lieferung mindestens 1000 Liter Flüssigkeit enthält?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:05 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo leet,
Das Einzige, was ich in deinem Artikel erkennen kann, ist eine Aufgabenstellung; - hingegen keine eigenen Lösungsansätze und noch nicht mal eine Anrede wie z.B. "Hallo" oder so... .
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Hmm ... schön. Dort wäre man über so eine Art Fragen zu stellen, vermutlich auch nicht sonderlich erfreut...
Gruß
Karl
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:21 Sa 03.06.2006 | | Autor: | leet |
Hallo Karl,
tut mir leid, aber ich bin neu hier im Forum und bin auf Grund der Erklärung bei der Registrierung zu der scheinbaren Fahelannahme gekommen, dass es hier so üblich ist nur eine Frage zu stellen. Aber nun gut, ich habe natürlich auch schon selbst versucht die Aufgabe zu lösen:
Zu Frage 1:
P(X [mm] \ge [/mm] 992) = 1- P(x<992)
=1-(P(X [mm] \ge [/mm] 19,84)^20 + P(X [mm] \ge [/mm] 49,6)^10)
=1-P(Z [mm] \ge [/mm] -0,4)^20 + P(Z [mm] \ge [/mm] -0,36514)^10)
=0,999968
Ich bin mir aber fast sicher, dass mein Ansatz falsch ist, da ich einfach angenommen habe, dass der Inhalt einfach pauschalt abnimmt, das ist aber denke ich einmal falsch.
Zu Frage 2 habe ich leider keine eigene Idee, da ich nicht weiß wie man es formulieren kann, dass nach abfüllen der Flüssigkeit 0,5 Liter abgezapft werden.
Ich hoffe Ihr könnt mir weiterhelfen.
Gruß
leet
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Sa 03.06.2006 | | Autor: | Karl_Pech |
Hallo leet,
> ich habe natürlich auch schon selbst versucht die Aufgabe zu lösen:
>
> Zu Frage 1:
> P(X [mm]\ge[/mm] 992) = 1- P(x<992)
> =1-(P(X [mm]\ge[/mm] 19,84)^20 + P(X [mm]\ge[/mm] 49,6)^10)
> =1-P(Z [mm]\ge[/mm] -0,4)^20 + P(Z [mm]\ge[/mm] -0,36514)^10)
> =0,999968
>
> Ich bin mir aber fast sicher, dass mein Ansatz falsch ist,
> da ich einfach angenommen habe, dass der Inhalt einfach
> pauschalt abnimmt, das ist aber denke ich einmal falsch.
Ehrlich gesagt kann ich den obigen Ansatz ab dem 2ten Gleichheitszeichen auch nicht recht nachvollziehen... . ![[keineahnung]](/images/smileys/keineahnung.gif "[keineahnung]") Wie kommst du z.B. auf Zahlen wie 19.84?
Na ja, ich habe mir folgendes Modell dazu überlegt, habe aber selbst keine Ahnung, ob es stimmt:
Seien
[mm]\mathrel{X_{20_i}}\hat{=}\mathrel{\texttt{Menge der Fl"ussigkeit (in Liter) im }i\texttt{-ten 20-Liter-Beh"alter.}}[/mm]
[mm]\mathrel{X_{50_j}}\hat{=}\mathrel{\texttt{Menge der Fl"ussigkeit (in Liter) im }j\texttt{-ten 50-Liter-Beh"alter.}}[/mm]
Aus der Aufgabenstellung wissen wir:
[mm]X_{20_i}\sim\mathcal{N}(20,0.16)[/mm]
[mm]X_{50_j}\sim\mathcal{N}(50,1.2)[/mm]
Das heißt, die 1000 Liter, die zu uns transportiert werden, setzen sich aus folgenden Komponenten zusammen:
[mm]Y := \sum_{i=1}^{25}{X_{20_i}} + \sum_{j=1}^{10}{X_{50_j}}[/mm]
Nun ist es so, daß hier nach der Wahrscheinlichkeit für einen konkreten Punktwert [mm]Y = 992[/mm] gefragt ist. Allerdings ist [mm]Y[/mm] eine stetige Zufallsgröße, so daß man hier keine punktuellen Wahrscheinlichkeiten angeben kann. Aber man kann hier - denke ich - über das Gegenereignis gehen. Wir suchen also die Wahrscheinlichkeit, daß man nicht weniger als 992 und nicht mehr als 992 Liter Flüssigkeit bekommt:
[mm]1 - P(Y < 992) - P(992 < Y < 1000)[/mm]
Hier handelt es sich nun um Intervalle und keine Punktwerte, so daß wir mit der Standardnormalverteilung ansetzen können. Dazu müssen wir aber [mm]Y[/mm] linear transformieren, wofür wir [mm]\mu_Y[/mm] und [mm]\sigma_Y^2[/mm] kennen müssen. Es gilt:
[mm]\mu_Y = \mu_{\sum_{i=1}^{25}{X_{20_i}} + \sum_{j=1}^{10}{X_{50_j}}} = \sum_{i=1}^{25}{\mu_{X_{20_i}}} + \sum_{j=1}^{10}{\mu_{X_{50_j}}} = 25\cdot{20} + 10\cdot{50} = 1000[/mm]
und
[mm]\sigma_Y^2 = \sigma^2_{1\cdot{\sum_{i=1}^{25}{1\cdot{X_{20_i}}}} + 1\cdot{\sum_{j=1}^{10}{1\cdot{X_{50_j}}}}} = 1^2\cdot{\sigma^2_{\sum_{i=1}^{25}{1\cdot{X_{20_i}}}}} + 1^2\cdot{\sigma^2_{\sum_{j=1}^{10}{1\cdot{X_{50_j}}}}} = \dotsb = 25\cdot{0.16}+10\cdot{1.2} = 16[/mm]
Das heißt:
[mm]Y\sim\mathcal{N}(1000,16)[/mm]
Jetzt können wir linear transformieren ([mm]Y \leadsto Y^{\star}\sim\mathcal{N}(0,1)[/mm]) und erhalten für die gesuchten Wahrscheinlichkeiten:
[mm]1 - P(Y < 992) - P(992 < Y < 1000) = 1-\Phi\left(\frac{992-1000}{4}\right) - \left(\Phi\left(\frac{1000-1000}{4}\right) - \Phi\left(\frac{992-1000}{4}\right)\right) = 1-\Phi(0) = 1-0.5 = 0.5[/mm]
aber wie gesagt ... irgendwie kommt mir dieses Ergebnis seltsam vor...
Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:32 Sa 03.06.2006 | | Autor: | leet |
Hallo Karl,
erst einmal vielen Dank für die schnelle und sehr ausführliche Antwort. Jedoch ergibt sich folgendes Problem bei deinem Lösungsansatz. Du hast die Annahme, dass es genau 992 Liter betragen soll in ein Intervall umgewandelt. Das ist auch richtig so, nur ist die Obergrenze bei diesem Intervall nicht 1000, da es ja auch theoretisch möglich wäre, dass mehr als 1000 Liter geliefert werden (somit wäre die obere Intervallgrenze [mm] \infty [/mm] , dies würde aber zu argen Problem führen). Die rein logische Annahme, dass in ein 20 Liter Gefäß keine 30 Liter reinpassen ist denke ich hier nicht zutreffend.
Ich denke, dass es sich um einen Fehler in der Aufgabenstellung handelt und es heißen müsste, dass mindestens 992 Liter geliefert werden. Ich habe dem Dozenten diesbezüglich auch schon eine Mail geschrieben, aber am Wochenende ist das immer etwas schwierig jemanden zu erreichen.
Du hast mir aber trotzdem sehr weitergeholfen, da es mir durchaus plausibel erscheint eine neue Normalverteilung aufzustellen.
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![[bonk]](/images/smileys/bonk.gif "[bonk]"){kind=small}
![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]"){kind=small}
Na ja, aber ganz nutzlos war die Rechnerei wohl nicht hoffe ich... 
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