Normalreihe Auflösbarkeit < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:33 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Toyo |
Hallo, ich hab mal eine Frage zu einem kleinen Beispiel:
(S4 = Symmetr.Gr., A4 = Alternierende Gr., V4 = kleinsche Vierergruppe)
Ich will zeigen, dass S4 auflösbar ist. das K(S4) = A4 u. K(A4) = V4 u. K(V4) = {e} ist mir schon klar, damit hab ich die Normal reihe, aber wie kann ich zeigen, dass z.B. S4/A4 u. A4/V4 abelsch sind? (die faktoren müssen ja nach Def. abelsch sein, damit S4 auflösbar ist.)
Ich habe auch probleme dabei mir z.B. unter S4/A4 etwas vorzustellen, wie kann man Auf einer Gruppe durch eine andere Gruppe eine Faktorstruktur erzeugen und wie sieht die dann aus?
Bin für jede Hilfe dankbar.
Gruß Toyo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:53 Mo 04.04.2005 | | Autor: | andreas |
hi
> (S4 = Symmetr.Gr., A4 = Alternierende Gr., V4 = kleinsche
> Vierergruppe)
>
> Ich will zeigen, dass S4 auflösbar ist. das K(S4) = A4 u.
> K(A4) = V4 u. K(V4) = {e} ist mir schon klar, damit
> hab ich die Normal reihe, aber wie kann ich zeigen, dass
> z.B. S4/A4 u. A4/V4 abelsch sind? (die faktoren müssen ja
> nach Def. abelsch sein, damit S4 auflösbar ist.)
>
> Ich habe auch probleme dabei mir z.B. unter S4/A4 etwas
> vorzustellen, wie kann man Auf einer Gruppe durch eine
> andere Gruppe eine Faktorstruktur erzeugen und wie sieht
> die dann aus?
also erstemal zu deiner letzten frage: das typische beipiel für eine faktorstruktur ist ja [m] {}^{\displaystyle \mathbb{Z}} / _{\displaystyle n \mathbb{Z}} [/m]. darunter kannst du dir vielleicht eher etwas vorstellen. im allgemeinen sind solche faktorstrukturen einfach die restklassen des normalteilers (ich weiß das hilft dir hier vielleicht nicht so wirklich weiter, aber eine vernünftige erklärung, wie man sich soetwas vorstellen sollte kann ich dir derzeit leider nicht liefern).
zu deiner frage der auflösbarket: ich nehme mal an, dass [mm] $K(\cdot)$ [/mm] den kommutator bezeichnet. dann kann man allgemein zeigen, dass für eine gruppe $G$ gilt: $K(G)$ ist der kleinste normalteiler $N$, so dass [mm] ${}^{\displaystyle G} [/mm] / [mm] _{\displaystyle N}$ [/mm] abelsch ist. hattet ihr solch einen satz in der vorlesung?
aber speziell im fall [mm] ${}^{\displaystyle S_4} [/mm] / [mm] _{\displaystyle A_4}$ [/mm] kann man das auch ganz einfach dirke einsehen: [mm] $A_4$ [/mm] hat ja genau halb soviel elemente wie [mm] $S_4$ [/mm] (nämlich genau die geraden permutationen) und somit gibt es nur zwei restklassen, nämlich [mm] $A_4$ [/mm] und [mm] $\sigma A_4$ [/mm] für ein [mm] $\sigma \in S_4 \setminus A_4$. [/mm] nun kann man ganz einfach nachrechnen, dass diese struktur abelsch ist, oder man weiß einfach, dass jede gruppe mit nur $2$ elementen abelsch ist.
grüße
andreas
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:17 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Toyo |
Also ich habe dann zwei Restklassen, A4 und oA4 meint doch dann sicher die Klasse der ungeraden Permutationen. Ok soweit alles verstanden.
Den Satz den du erwähnt hast haben wir leider nicht.
Daher komme ich jetzt zu meinem 2ten Problem zurück, zu zeigen, das A4/V4 abelsch ist. jetzt hat A4 ja 12 Elemente und V4 genau 4.
kannst du oder jemand anders mir sagen, wie ich hier zeigen kann dass A4/V4 abgelsch ist?
Vielen Dank schonmal andreas!!!
Gruß Toyo
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Mo 04.04.2005 | | Autor: | Stefan |
Hallo Toyo!
Naja, [mm] $A_4/V_4$ [/mm] hat genau $12:4=3$ Elemente, und jede Gruppe mit drei Elementen ist abelsch.
Das kann man auch ohne irgendwelche Sätze einsehen.
Ist [mm] $G=\{e,a,b\}$, [/mm] so gilt natürlich:
$ea=a=ae$,
$eb=b=be$,
$ab=e=ba$.
Viele Grüße
Stefan
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:42 Di 05.04.2005 | | Autor: | andreas |
hi
ich wollte nur nochmal kurz die angesprochene aussage aufgreifen, da sie schon recht praktisch ist, da sie einem die überlegung erspart, warum die faktorgruppe abelsch ist. das ist vorallem in solchen fällen hilfreich, wo dies nicht so klar ist wie hier.
also: [mm] ${}^{\displaystyle G}/_{\displaystyle K(G)}$ [/mm] ist abelsch.
sei $[a] [mm] \in {}^{\displaystyle G}/_{\displaystyle K(G)}$ [/mm] die restklasse von $a [mm] \in [/mm] G$. dann ist zu zeigen, dass [m] \, [a][b] = [b][a] [/m] das ist nach multiplikation mit den inversen von rechts äquivalent zu [m] [a][b][a]^{-1}[b]^{-1} = [1] [/m] und dies ist wieder äquivalent zu [m] [aba^{-1}b^{-1}] = [1] [/m] und dies ist trivialerweise für alle $a, b [mm] \in [/mm] G$ erfüllt, da [m] aba^{-1}b^{-1} \in K(G) [/m].
grüße
andreas
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