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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:18 Fr 28.11.2008 | | Autor: | Wimme |
Hallo!
Für das Approximationsproblem möchte man ja [mm] ||Ax-b||_2^2 \to [/mm] min erreichen.
Wenn ich jetzt definiere:
F(x) := [mm] ||Ax-b||_2^2 [/mm] = [mm] (x,A^tAx)-2(A^tb,x)+||b||_2 [/mm] dann möchte ich also das Minimum dieser Funktion finden.
Also F'(x) = 0.
In unserem Skript steht nun, man möchte
[mm] gradF(x^{\star}) [/mm] = 0, also [mm] A^tAx^{\star} [/mm] = A^tb lösen, die Normalgleichung.
Was bedeutet "grad"? Inwiefern ist das die Ableitung?
Und wie bestimme ich die Ableitung von so einer Funktion?
D.h. im Endeffekt, wie komme ich auf die Normalgleichung?
danke euch!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:32 Fr 28.11.2008 | | Autor: | fred97 |
> Hallo!
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> Für das Approximationsproblem möchte man ja [mm]||Ax-b||_2^2 \to[/mm]
> min erreichen.
> Wenn ich jetzt definiere:
> F(x) := [mm]||Ax-b||_2^2[/mm] = [mm](x,A^tAx)-2(A^tb,x)+||b||_2[/mm] dann
> möchte ich also das Minimum dieser Funktion finden.
> Also F'(x) = 0.
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> In unserem Skript steht nun, man möchte
> [mm]gradF(x^{\star})[/mm] = 0, also [mm]A^tAx^{\star}[/mm] = A^tb lösen, die
> Normalgleichung.
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> Was bedeutet "grad"? Inwiefern ist das die Ableitung?
Der Gradient gradF ist der Vektor in dessen Komponenten die partiellen Ableitungen von F stehen, also
gradF = [mm] (F_{x_1}, [/mm] ..., [mm] F_{x_n})
[/mm]
Ist F differenzierbar, so ist F' = gradF
In Deinem Fall ist das der Fall
FRED
> Und wie bestimme ich die Ableitung von so einer Funktion?
> D.h. im Endeffekt, wie komme ich auf die Normalgleichung?
>
> danke euch!
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