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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:59 Di 26.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
Hallo ihr Lieben,
kann mir jemand helfen?
Wie finde ich für die Matrix
[mm] \bruch{1}{4} \pmat{ \wurzel{2}-2 & \wurzel{2}+2 & -2 \\ \wurzel{2}+2 & \wurzel{2}-2 & -2 \\ 2 & 2 & 2 \wurzel{2}}
[/mm]
ein Matrix S aus O(3), sodass [mm] S^{-1}AS [/mm] Normalform hat?
Ich hoffe dass mir da jemand bei helfen kann.
Danke schonmal für jede Antwort!
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> Hallo ihr Lieben,
> kann mir jemand helfen?
> Wie finde ich für die Matrix
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> [mm]\bruch{1}{4} \pmat{ \wurzel{2}-2 & \wurzel{2}+2 & -2 \\ \wurzel{2}+2 & \wurzel{2}-2 & -2 \\ 2 & 2 & 2 \wurzel{2}}[/mm]
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> ein Matrix S aus O(3), sodass [mm]S^{-1}AS[/mm] Normalform hat?
Um welche spezielle Art von Matrix handelt es sich denn? Und welche Art von "Normalform" schwebt Dir vor?
Falls sie z.B. orthogonal ist (ich hab's nicht kontrolliert: ich kann mich also täuschen), dann lässt sie sich orthogonal auf "Kästchenform" bringen. Kästchenform erhält man, wenn man sie auf eine Basis von Eigenvektoren und/oder zweidimensionalen invarianten Teilräumen transformiert. Im allgemeinen Falle würde man zuerst eine orthogonale Matrix als unitäre behandeln: dann gibt es eine Basis aus paarweise orthogonalen Eigenvektoren. Dann geht man zurück zum reellen Fall, indem man die Eigenvektoren zu je konjugiert komplexen Eigenwerten einen invarianten (nun wieder reellen) Teilraum aufspannen lässt.
Im 3-dimensionalen Falle kann man auch mehr "locker vom Hocker" vorgehen: Schau mal, welche Eigenwerte / Eigenvektoren Du findest. Dann hast Du schon mal einen Teil der gesuchten Basis, bezüglich der die Matrix auf Kästchenform gebracht wird. Eventuell bleibt dann ein 2-dimensionaler invarianter Teilraum, bezüglich dem die Matrix eine Drehung um einen gewissen Winkel ist.
Vielleicht hast Du ja in der Vorlesung was über die "Klassifikation der orthogonalen Abbildungen für die Dimensionen 1, 2, und 3" gehabt. In diesem Falle: siehe dort.
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> Ich hoffe dass mir da jemand bei helfen kann.
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> Danke schonmal für jede Antwort!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:14 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Engel205 |
ja genau eine orthogonale Basis hab ich auch. Aber wie komm ich auf diese Kästchenschreibweise?
Das verstehe ich irgendwie nicht so ganz...
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> ja genau eine orthogonale Basis hab ich auch. Aber wie komm
> ich auf diese Kästchenschreibweise?
Eben: Du schaust zuerst, welche Eigenwerte die gegebene orthogonale Matrix hat. Die Eigenwerte [mm]\lambda[/mm] unitärer Matrizen haben (bekanntlich) den Betrag [mm]|\lambda| = 1[/mm]. Dies bedeutet: die reellen Eigenwerte können nur [mm]\pm 1[/mm] sein. Da die Matrix [mm]3\times 3[/mm] ist, ist das charakteristische Polynom vom dritten Grad, besitzt also notwendigerweise zumindest den reellen Eigenwert [mm]+1[/mm] (Fixgerade) oder [mm]-1[/mm] (Spiegelungsrichtung). Jenachdem wieviele reelle Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren Du findest, bist Du gleich fertig: dann bringt die Transformation auf diese Eigenvektoren als Basis die Matrix nicht nur auf Kästchenform, sondern diagonalisiert sie sogar.
Oder, wahrscheinlicherer Fall, Du findest nur einen einzigen rellen Eigenwert mit zugehörigem Eigenraum. Dann ist die Matrix bezüglich dem zu diesem Eigenraum orthogonal-komplementären 2-dim Teilraum eine Drehmatrix. Du wählst also einfach eine beliebige orthogonale Basis dieses zum 1-dim Eigenraum orthogonal-komplementären 2-dim Teilraumes und transformierst die gegebene orthogonale Matrix entsprechend. Dann sollte die transformierte Matrix, neben dem einen rellen Eigenwert in der Diagonalen, ein "Kästchen" (Drehmatrix) der Form:
[mm]\pmat{ \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ \sin(\varphi) & \cos(\varphi) }[/mm]
besitzen. Sie sieht dann also insgesamt etwa so aus:
[mm]\pmat{\pm 1 & 0 & 0 \\
0 & \cos(\varphi) & -\sin(\varphi) \\ 0 & \sin(\varphi) & \cos(\varphi) }[/mm]
> Das verstehe ich irgendwie nicht so ganz...
Warum fängst Du nicht einfach an zu rechnen, dann wird's vielleicht klarer.
Apropos "verstehen": Du kannst nicht erwarten, dass ich Dir den Text der Vorlesung oder Deines Lehrbuches zu diesem Thema hier geduldigst nochmals eintippse und tappse. Diesen Text hast Du sicher schon: lies ihn einfach nochmals. Ich beschränke mich hier auf die Angabe eines blossen Rezepts.
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