Normalenvektor eines Kreises < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:21 Sa 01.08.2009 | | Autor: | Denny22 |
Hallo an alle,
wie berechnet man den Normalenvektor eines Kreises im [mm] $\IR^2$ [/mm] für beliebige (auf dem Rand liegende und in Koordinatenform gegebene) Punkte?
Meine Idee:
Sei [mm] $x=\vektor{x_1 \\ x_2}\in\partial B_R(0)\subset\IR^2$ [/mm] ein Punkt vom Rand, so gilt für die Polarform [mm] ($\IC\cong\IR^2$)
[/mm]
[mm] $x=R\cdot e^{i\varphi}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi)=\vektor{R\cos\varphi \\ R\sin\varphi}$
[/mm]
wobei
[mm] $\varphi=\left(\mathrm{sgn}x_2+1-\left|\mathrm{sgn}x_2\right|\right)\cdot\arccos\left(\frac{x_1}{R}\right)\in]-\pi,\pi]$
[/mm]
Demzufolge ist der äußere Normaleneinheitsvektor im Punkt [mm] $x=\vektor{x_1 \\ x_2}\in\partial B_R(0)$ [/mm] gegeben durch
[mm] $\vec{n}(x):=\vektor{\cos\varphi \\ \sin\varphi}=\vektor{\cos\left(\left(\mathrm{sgn}x_2+1-\left|\mathrm{sgn}x_2\right|\right)\cdot\arccos\left(\frac{x_1}{R}\right)\right) \\ \sin\left(\left(\mathrm{sgn}x_2+1-\left|\mathrm{sgn}x_2\right|\right)\cdot\arccos\left(\frac{x_1}{R}\right)\right)}$
[/mm]
Stimmt diese Vorgehensweise?
Bislang habe ich immer mit Dirichlet-Nullrandbedingungen gearbeitet und dabei waren die Normalenableitungen immer $0$.
Gruß Denny
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Hallo,
für eine Paramtrisierung
[mm] $$\alpha(t)=\left( x(t) \; , \; y(t) \right)$$
[/mm]
lautet der Normalenvektor:
[mm] $$n(t)=\left( \dot{y}(t) \; , \; -\dot{x}(t) \right)$$
[/mm]
Gruß Patrick
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Und weil bei einem Kreis eine Tangente immer senkrecht auf dem zugehörigen Radiusvektor steht - wozu bedarf es da überhaupt noch einer Rechnung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:27 Sa 01.08.2009 | | Autor: | Denny22 |
Vielen Dank für Eure Antworten. Diese bestätigen meine Überlegungen.
Gruß
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