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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:52 Mi 02.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
| Aufgabe | | Sei [mm] A=(a_{ij}) \in M_{n,n}(\IC) [/mm] eine obere Dreiecksmatrix (d.h. ja [mm] a_{ij}=0 [/mm] für i>j), die normal ist, also [mm] A^{\*}*A=A*A^{\*}. [/mm] Zeige, dass A eine Diagonalmatrix ist. |
Wie beweise ich das kurz und knackig? Ich brech mir da irgendwie einen ab... :(
Vielen Dank für die Hilfe und viele Grüße
kiri
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> Sei [mm]A=(a_{ij}) \in M_{n,n}(\IC)[/mm] eine obere Dreiecksmatrix
> (d.h. ja [mm]a_{ij}=0[/mm] für i>j), die normal ist, also
> [mm]A^{\*}*A=A*A^{\*}.[/mm] Zeige, dass A eine Diagonalmatrix ist.
> Wie beweise ich das kurz und knackig? Ich brech mir da
> irgendwie einen ab... :(
Hallo,
ich würde die Sache spontan recht hausbacken angehen: [mm] A:=(a_i_j), [/mm] und dann die beiden Produkte ausrechnen und vergleichen.
Was hast Du denn gemacht?
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:23 Do 03.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Wie rechne ich das denn konkret aus?
Viele Grüße
kiri
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:07 Do 03.07.2008 | | Autor: | Blech |
> Wie rechne ich das denn konkret aus?
>
> Viele Grüße
> kiri
[mm]B*C=D\ [/mm]
Wie sieht denn dann [mm] $d_{i,j}$ [/mm] aus? Matrixmultiplikation, LinAlg, 1. od. Anfang 2. Semester. =)
ciao
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:42 Do 03.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Dann hätten wir also:
[mm] A*A^{\*}=\summe_{j=1}^{n}a_{ij}*a^{-}_{ji}
[/mm]
[mm] A^{\*}*A=\summe_{j=1}^{n}a^{-}_{ji}*a_{ij}
[/mm]
Und wie geht es weiter? :(
Viele Grüße
kiri
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> Dann hätten wir also:
>
> [mm]A*A^{\*}=\summe_{j=1}^{n}a_{ij}*a^{-}_{ji}[/mm]
> [mm]A^{\*}*A=\summe_{j=1}^{n}a^{-}_{ji}*a_{ij}[/mm]
>
> Und wie geht es weiter? :(
Hallo,
im Moment gar nicht:
schau Dir nochmal genau an, wie man Matrizen multipliziert, und sag' dann, welches Element bei [mm] A*A^{\*} [/mm] und [mm] A^{\*}*A [/mm] jeweils in der i-ten Zeile in der j-ten Spalte steht..
Gruß v. Angela
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hi,
Bei [mm] A*A\*
[/mm]
kommt da in der ersten zeile das hier raus?
1.Eintrag : [mm] a_{1,1}*a_{1,1}\*
[/mm]
2.Eintrag: [mm] a_{1,1}*a_{1,2}\*+ a_{1,2}*a_{2,2}\*
[/mm]
[mm] \ldots [/mm]
n.Eintrag: [mm] a_{1,1}*a_{1,n}\* [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] a_{1,n}*a_{n,n}\*
[/mm]
also die 1.Zeile der Matrix, die beim Multiplizieren rauskommt...
kann mir jemand sagen, ob das richtig ist, dann weis ich ob ich auf dem richtigen weg bin...mfg
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Hallo!
Matrizenmultiplikation einer Matrix A = [mm] (a_{i_{j}})\in\IC^{n\times n} [/mm] und B = [mm] (b_{i_{j}})\in\IC^{n\times n}:
[/mm]
[mm]A*B = (c_{i_{j}}) = (\summe_{k=1}^{n}a_{i_{k}}*b_{k_{j}}) [/mm].
Das kannst du nun auf deine Matrizen übertragen! Bei dir ist nämlich
A = [mm] (a_{i_{j}})\in\IC^{n\times n}
[/mm]
und dann
A* = [mm] (\overline{a_{j_{i}}})\in\IC^{n\times n}.
[/mm]
Stefan.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:00 Sa 05.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Das ist doch genau das, was ich gemacht habe, oder nicht?
Denn:
$ [mm] A\cdot{}A^{*}=\summe_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot{}a^{-}_{ji}=b_{ii} [/mm] $
$ [mm] A^{*}\cdot{}A=\summe_{j=1}^{n}a^{-}_{ji}\cdot{}a_{ij}=b_{jj} [/mm] $
--> Diagonalgestalt
??
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> Das ist doch genau das, was ich gemacht habe, oder nicht?
Hallo,
nein, überhaupt nicht.
Schau Dir mal den Summationsindex beim Steppenhahn an.
Gruß v. Angela
> Denn:
>
> [mm]A\cdot{}A^{\*}=\summe_{j=1}^{n}a_{ij}\cdot{}a^{-}_{ji}=b_{ii}[/mm]
>
> [mm]A^{\*}\cdot{}A=\summe_{j=1}^{n}a^{-}_{ji}\cdot{}a_{ij}=b_{jj}[/mm]
>
> --> Diagonalgestalt
>
> ??
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Sa 05.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
So?
[mm] A*A^{\*}=(c_{ij})=\summe_{k=1}^{n}a_{ik}*a^{-}_{kj}?
[/mm]
Viele Grüße
kiri
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> So?
>
> [mm]A*A^{\*}=(c_{ij})=\summe_{k=1}^{n}a_{ik}*a^{-}_{kj}?[/mm]
Hallo,
ja, so geht's in die richtige Richtung, richtig ist es noch nicht.
[mm] A:=(a_i_j)
[/mm]
[mm] A^{\*}:=(b_i_j)=(a^{-}_{ji})
[/mm]
Also ist
[mm] A*A^{\*}=(c_{ij})= (\summe_{k=1}^{n}a_{ik}*b^_{kj})=...
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:31 Sa 05.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Gilt dann [mm] A^{\*}*A=(\summe_{k=1}^{n}a^{-}_{ik}a_{kj}) [/mm] ?
Viele Grüße
kiri
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Hallo,
leider war meine Antwort zuvor nicht richtig, ich habe sie bearbeitet.
Dem dortigen Muster entsprechend kannst Du dann auch das zweite der Produkte ausrechnen.
Gruß v. Angela
P.S.: Schreib Dir das doch mal für eine 3x3-Matrix auf, damit Du verstehst, was Du hier tust. Mir hilft so etwas sehr.
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Hi,
bei A ist die 3x3 Matrix einfach...wie sieht die denn bei A* aus?
genauso wie bei A, nur mit dem Querstrich drüber?
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> Hi,
> bei A ist die 3x3 Matrix einfach...wie sieht die denn bei
> A* aus?
> genauso wie bei A, nur mit dem Querstrich drüber?
Hallo,
[mm] A^{\*} [/mm] entsteht aus A, indem man transponiert und konjugiert.
Bei einer 2x2-Matrix sähe das so aus: [mm] A:=\pmat{ a_1_1 & a_1_2 \\ a_2_1& a_2_2 }, A^{\*} =\pmat{ \overline{a_1_1} & \overline{a_2_1}\\ \overline{a_1_2} &\overline{a_2_2}}
[/mm]
Gruß v. Angela
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Danke, hast mir sehr geholfen...habe mal [mm] A*A\* [/mm] und [mm] A\**A [/mm] gerechnet....und wenn ich die Einträge auf der Hauptdiagonalen vergleiche komme ich zu dem Schluss dass A eine Diagonalmatrix sein muss (also [mm] a_{1,2}=0 [/mm] usw... und dann sind die Einträge außerhalb der Hauptdiagonalen folglich auch 0)
Gruß
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:42 So 06.07.2008 | | Autor: | kiri111 |
Genau so hatte ich das jetzt auch begründet. Vielen Dank, Angelika!
Viele Grüße
kiri
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