Norm der 2. Ableitung < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:41 So 14.01.2007 | | Autor: | Fuffi |
| Aufgabe | | Es sei f [mm] \in C^{2} [/mm] [a,b] mit f(a)=0, f(b)=-1 und [mm] f^{'}(a)=f^{'}(b)=0. [/mm] Man zeige [mm] ||f^{''}|| \ge \bruch{2}{b^{2}-a^{2}} [/mm] |
Ich habe an dieser Aufgabe jetzt schon 2 Stunden gesessen und hatte immer mal wieder das Gefühl der Lösung ganz nah zu sein. Aber irgendwie komme ich nich drauf. Ich wäre dankbar für einen Tipp wie ich bei der Aufgabe am besten anfangen muss. Danke
Anm.: [mm] \in C^{2} [/mm] heißt in diesem Fall 2 mal stetig differenzierbar. Keine Ahnung ob man das auch allgemein so schreibt.
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum und auf keinen anderen Internetseiten gestellt
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:29 So 14.01.2007 | | Autor: | ullim |
Hi,
ich glaube da stimmt was nicht in der Aufgabenstellung.
Nehme mal die Funktion
[mm] f(x)=2x^3-3x^2 [/mm] sowie a=0 und b=1
Dann gilt für f(x)
f(0)=0 und f(1)=-1 außerdem gilt
f'(0)=f'(1)=0
für [mm] x_0=\br{1}{2} [/mm] gilt aber
[mm] f''(x_0)=0 [/mm] also nicht ||f''|| [mm] \ge [/mm] 2
Das gilt auch allgemein, durch die Definition der Funktion muss die Krümmung (entspr. der zweiten Ableitung) mal größer und mal kleiner als 0 sein. Daraus folgt aus dem Zwischennwertsatz für stetige Funktionen, dass auch der Wert 0 angenommen werden muss, da die die Fu8nktion ja aus [mm] C^2 [/mm] stammt, also zweimal stetig differenzierbar ist.
mfg ullim
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