www.vorhilfe.de
- Förderverein -
Der Förderverein.

Gemeinnütziger Verein zur Finanzierung des Projekts Vorhilfe.de.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Mitglieder · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status VH e.V.
  Status Vereinsforum

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Suchen
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Forum "Algebra" - Nochmal Ideale
Nochmal Ideale < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Nochmal Ideale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:10 Di 24.01.2012
Autor: Physy

Aufgabe
Betrachte in dem Polynomring [mm] \IZ[X] [/mm] die beiden Ideale [mm] I_{1} [/mm] = (X) und [mm] I_{2} [/mm] = (2,X).
Entscheide, ob die Ideale prim bzw. maximal sind.


Sorry, dass ich nochmal einen Thread zu dieser Aufgabe aufmache aber ich sas nun die ganze Woche davor und würde gerne Eure Meinung hören.

[mm] I_{1} [/mm] ist die Menge aller Polynome mit konstantem Glied 0 und [mm] I_{2} [/mm] ist die Menge aller Polynome mit geradem konstanten Glied. Weiterhin ist [mm] I_{1} \not= \IZ[x] [/mm] und [mm] I_{2} \not= \IZ[x]. [/mm]
Zunächst mal ist [mm] I_{1} \subset I_{2}, [/mm] also kann [mm] I_{1} [/mm] kein maximales Ideal sein. Prüfe [mm] I_{1} [/mm] auf die Primidealeigenschaft: Seien a,b [mm] \in \IZ[x] [/mm] mit a*b [mm] \in I_{1} \Rightarrow [/mm] a*b = [mm] a_{n}X^{n}+...+a_{1}X^{1}. [/mm] Dann muss aber a [mm] \in I_{1} [/mm] oder b [mm] \in I_{1} [/mm] gelten, da sonst a*b ein konstantes Glied hätte, also ist [mm] I_{1} [/mm] ein Primideal.
Nun zu [mm] I_{2} [/mm] auch ein Primideal, denn: Seien a,b [mm] \in \IZ[x] [/mm] mit a*b [mm] \in I_{2} \Rightarrow [/mm] a*b = [mm] a_{n}X^{n}+...+a_{1}X^{1}+2*n [/mm] für ein n [mm] \in \IN_{0}. [/mm] Dann muss aber a oder b in [mm] I_{2} [/mm] liegen. Denn wären die Konstanten in a und b ungerade, so würde dies auch für a*b gelten. Zu zeigen bleibt die Maximalität dies Ideals [mm] I_{2}: [/mm] Angenommen [mm] I_{2} [/mm] wäre kein maximales Ideal. Dann müsste es ein Ideal J [mm] \not= \IZ[x] [/mm] geben mit [mm] I_{2} \subset [/mm] J. Dann hätte J mindestens ein Polynom mit ungeradem konstanten Glied. Dann müssten aber alle Polynoome mit ungeradem konstanten Glied in J enthalten sein, sonst wäre (J,+) nicht abgeschlossen, also insbesondere keine Gruppe. Dann wäre aber J = [mm] \IZ[x], [/mm] was der Vorassetzung widerspricht. Also muss [mm] I_{2} [/mm] bereits maximal sein.


Ich würde mich sehr freuen, wenn jemand seine Meinung zu diesem Beweis preisgibt bzw. mich korrigiert.

Danke im Voraus :)

        
Bezug
Nochmal Ideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:42 Di 24.01.2012
Autor: statler

Mahlzeit!

> Betrachte in dem Polynomring [mm]\IZ[X][/mm] die beiden Ideale [mm]I_{1}[/mm]
> = (X) und [mm]I_{2}[/mm] = (2,X).
>  Entscheide, ob die Ideale prim bzw. maximal sind.

> [mm]I_{1}[/mm] ist die Menge aller Polynome mit konstantem Glied 0
> und [mm]I_{2}[/mm] ist die Menge aller Polynome mit geradem
> konstanten Glied. Weiterhin ist [mm]I_{1} \not= \IZ[x][/mm] und
> [mm]I_{2} \not= \IZ[x].[/mm]
>  Zunächst mal ist [mm]I_{1} \subset I_{2},[/mm]
> also kann [mm]I_{1}[/mm] kein maximales Ideal sein. Prüfe [mm]I_{1}[/mm] auf
> die Primidealeigenschaft: Seien a,b [mm]\in \IZ[x][/mm] mit a*b [mm]\in I_{1} \Rightarrow[/mm]
> a*b = [mm]a_{n}X^{n}+...+a_{1}X^{1}.[/mm] Dann muss aber a [mm]\in I_{1}[/mm]
> oder b [mm]\in I_{1}[/mm] gelten, da sonst a*b ein konstantes Glied
> hätte, also ist [mm]I_{1}[/mm] ein Primideal.
>  Nun zu [mm]I_{2}[/mm] auch ein Primideal, denn: Seien a,b [mm]\in \IZ[x][/mm]
> mit a*b [mm]\in I_{2} \Rightarrow[/mm] a*b =
> [mm]a_{n}X^{n}+...+a_{1}X^{1}+2*n[/mm] für ein n [mm]\in \IN_{0}.[/mm] Dann
> muss aber a oder b in [mm]I_{2}[/mm] liegen. Denn wären die
> Konstanten in a und b ungerade, so würde dies auch für
> a*b gelten. Zu zeigen bleibt die Maximalität dies Ideals
> [mm]I_{2}:[/mm] Angenommen [mm]I_{2}[/mm] wäre kein maximales Ideal. Dann
> müsste es ein Ideal J [mm]\not= \IZ[x][/mm] geben mit [mm]I_{2} \subset[/mm]
> J. Dann hätte J mindestens ein Polynom mit ungeradem
> konstanten Glied. Dann müssten aber alle Polynoome mit
> ungeradem konstanten Glied in J enthalten sein, sonst wäre
> (J,+) nicht abgeschlossen, also insbesondere keine Gruppe.

Warum genau? (ungerade Zahl + alle geraden Zahlen gibt alle ungeraden Zahlen)

> Dann wäre aber J = [mm]\IZ[x],[/mm] was der Vorassetzung
> widerspricht. Also muss [mm]I_{2}[/mm] bereits maximal sein.

Könntest du auch über die Restklassenringe argumentieren?

Gruß aus HH-Harburg
Dieter

Bezug
                
Bezug
Nochmal Ideale: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:55 Di 24.01.2012
Autor: Physy

Nein, darüber habe ich ewig nachgedacht :) Aber ich weiß nicht, wie ich die Inversen bzgl. der Multiplikation finden soll, damit [mm] (\IZ[x]/I_{2},+,*) [/mm] ein Körper ist.

Bezug
                        
Bezug
Nochmal Ideale: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:04 Di 24.01.2012
Autor: statler

Genau genommen hast du das erledigt. Was sind denn die Restklassen?
Gruß D

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Algebra"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
ev.vorhilfe.de
[ Startseite | Mitglieder | Impressum ]