Nilradikal < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:51 Di 18.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
| Aufgabe | Sei A ein Ring und NA = {a [mm] \in [/mm] A: [mm] a^n [/mm] = 0 für ein n [mm] \in \IN}. [/mm] Elemente aus NA heißen nilopotent und NR heißt Nilradikal von A. Zeigen Sie:
i) NA ist ein Ideal
ii) Sei [mm] \overline{A} [/mm] = A/NA. Dann gilt [mm] N\overline{A} [/mm] = (0)
iii) Ist e [mm] \in R^x [/mm] eine Einheit und x [mm] \in [/mm] NA nilpotent. Dann ist auch x+e eine Einheit. |
Hallo Leute,
ich würde mich freuen, wenn das hier jemand Korrektur lesen würde :)
A ist kommutativ!
i) Es sind mehrere Dinge zu zeigen:
- (NA,+) ist eine abelsche Gruppe
- ax [mm] \in [/mm] NA [mm] \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] NA und [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] R
Nach Definition sind 0 [mm] \in [/mm] NA und a [mm] \in [/mm] NA.
Außerdem ist -a [mm] \in [/mm] NA, denn [mm] (-a)^n [/mm] = [mm] (-1)^n a^n [/mm] = 0
Seien a,b [mm] \in [/mm] NA, n1,n2 [mm] \in \IN [/mm] mit a^n1 = b^n2 = 0
Insbesondere gilt:
(a+b)^(n1+n2) = [mm] \summe_{k=0}^{n1+n2} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k [/mm] b^(n1+n2-k) = [mm] \summe_{k=0}^{n1} \summe_{k=n1 + 1}^{n1+n2} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k} [/mm] = [mm] \summe_{k=n1 + 1}^{n1+n2} \summe_{k=0}^{n1} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k} [/mm]
= [mm] \summe_{k=0}^{n1} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k} [/mm] + [mm] \summe_{k=n1 + 1}^{n1+n2} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k} [/mm] = 0 also ist auch a+b [mm] \in [/mm] NA.
Damit ist (NA,+) eine abelsche Gruppe.
Sei a [mm] \in [/mm] NA, x [mm] \in [/mm] A beliebig mit [mm] a^n [/mm] = 0. Da [mm] (ax)^n [/mm] = [mm] a^n x^n [/mm] = 0 ist ax [mm] \in [/mm] NA. Damit ist NA ein Ideal.
ii)
Hier habe ich leider noch keine Idee. Wie muss ich denn [mm] N\overline{A} [/mm] verstehen? [mm] N\overline{A} [/mm] = {a [mm] \in \overline{A}: a^n [/mm] = 0 für ein n [mm] \in \IN} [/mm] ?
iii)
Sei e eine Einheit und x [mm] \in [/mm] NA nilpotent. Damit ist nach Definition [mm] x^n [/mm] = 0. Es gilt auch: e + x = [mm] e(1+e^{-1}x) [/mm] eine Einheit, denn es gilt [mm] (ex)^n [/mm] = [mm] e^n x^n [/mm] = 0 und in einem kommutativen Ring ist auch [mm] e^{-1}x [/mm] nilpotent.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Mi 19.11.2014 | | Autor: | hippias |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Sei A ein Ring und NA = {a [mm]\in[/mm] A: [mm]a^n[/mm] = 0 für ein n [mm]\in \IN}.[/mm]
> Elemente aus NA heißen nilopotent und NR heißt Nilradikal
> von A. Zeigen Sie:
> i) NA ist ein Ideal
> ii) Sei [mm]\overline{A}[/mm] = A/NA. Dann gilt [mm]N\overline{A}[/mm] =
> (0)
> iii) Ist e [mm]\in R^x[/mm] eine Einheit und x [mm]\in[/mm] NA nilpotent.
> Dann ist auch x+e eine Einheit.
> Hallo Leute,
>
> ich würde mich freuen, wenn das hier jemand Korrektur
> lesen würde :)
> A ist kommutativ!
>
> i) Es sind mehrere Dinge zu zeigen:
> - (NA,+) ist eine abelsche Gruppe
> - ax [mm]\in[/mm] NA [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] NA und [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] R
>
> Nach Definition sind 0 [mm]\in[/mm] NA und a [mm]\in[/mm] NA.
> Außerdem ist -a [mm]\in[/mm] NA, denn [mm](-a)^n[/mm] = [mm](-1)^n a^n[/mm] = 0
> Seien a,b [mm]\in[/mm] NA, n1,n2 [mm]\in \IN[/mm] mit a^n1 = b^n2 = 0
> Insbesondere gilt:
> (a+b)^(n1+n2) = [mm]\summe_{k=0}^{n1+n2} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k[/mm]
> b^(n1+n2-k) =
Dies ...
> [mm]\summe_{k=0}^{n1} \summe_{k=n1 + 1}^{n1+n2} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k}[/mm]
> = [mm]\summe_{k=n1 + 1}^{n1+n2} \summe_{k=0}^{n1} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k}[/mm]
... sieht ziemlich falsch aus, aber hier...
>
> = [mm]\summe_{k=0}^{n1} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k}[/mm] +
> [mm]\summe_{k=n1 + 1}^{n1+n2} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k}[/mm]
> = 0 also ist auch a+b [mm]\in[/mm] NA.
... wird es wieder richtig.
> Damit ist (NA,+) eine abelsche Gruppe.
O.K.
>
> Sei a [mm]\in[/mm] NA, x [mm]\in[/mm] A beliebig mit [mm]a^n[/mm] = 0. Da [mm](ax)^n[/mm] = [mm]a^n x^n[/mm]
> = 0 ist ax [mm]\in[/mm] NA. Damit ist NA ein Ideal.
>
> ii)
> Hier habe ich leider noch keine Idee. Wie muss ich denn
> [mm]N\overline{A}[/mm] verstehen? [mm]N\overline{A}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= {a [mm]\in \overline{A}: a^n[/mm]
> = 0 für ein n [mm]\in \IN}[/mm] ?
Ja, genauso musst Du es auffassen.
>
> iii)
> Sei e eine Einheit und x [mm]\in[/mm] NA nilpotent. Damit ist nach
> Definition [mm]x^n[/mm] = 0. Es gilt auch: e + x = [mm]e(1+e^{-1}x)[/mm] eine
> Einheit, denn es gilt [mm](ex)^n[/mm] = [mm]e^n x^n[/mm] = 0 und in einem
> kommutativen Ring ist auch [mm]e^{-1}x[/mm] nilpotent.
Das scheint nicht sehr zielfuehrend zu sein. Mein Tip: Man betrachte zuerst den Fall $e=1$. Wenn $1+x$ invertierbar ist, dann gibt es $y$ mit $(1+x)y=1$, d.h. $y= [mm] \frac{1}{1+x}$. [/mm] Um die Nilpotenz von $x$ ins Spiel zu bringen, erkennt man in diesem Bruch den Grenzwert der geometrischen Reihe. Man hat zwar in einem beliebigen Ring keinen Konvergenzbegriff, aber die Reihe ist hier trotzdem hilfreich.
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Mi 19.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
> > i) Es sind mehrere Dinge zu zeigen:
> > - (NA,+) ist eine abelsche Gruppe
> > - ax [mm]\in[/mm] NA [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] NA und [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] R
> >
> > Nach Definition sind 0 [mm]\in[/mm] NA und a [mm]\in[/mm] NA.
> > Außerdem ist -a [mm]\in[/mm] NA, denn [mm](-a)^n[/mm] = [mm](-1)^n a^n[/mm] = 0
> > Seien a,b [mm]\in[/mm] NA, n1,n2 [mm]\in \IN[/mm] mit a^n1 = b^n2 = 0
> > Insbesondere gilt:
> > (a+b)^(n1+n2) = [mm]\summe_{k=0}^{n1+n2} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k[/mm]
> > b^(n1+n2-k) =
> Dies ...
> > [mm]\summe_{k=0}^{n1} \summe_{k=n1 + 1}^{n1+n2} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k}[/mm]
> > = [mm]\summe_{k=n1 + 1}^{n1+n2} \summe_{k=0}^{n1} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k}[/mm]
> ... sieht ziemlich falsch aus, aber hier...
Dann lasse ich das einfach weg. Wollte damit die Kommutativität von NA begründen. Aber ich die dann daraus folgern, dass es egal ist, ob ich erst [mm] a^k [/mm] und dann [mm] b^{n1+n1-k} [/mm] schreibe oder umgekehrt?
> >
> > = [mm]\summe_{k=0}^{n1} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k}[/mm] +
> > [mm]\summe_{k=n1 + 1}^{n1+n2} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k}[/mm]
> > = 0 also ist auch a+b [mm]\in[/mm] NA.
> ... wird es wieder richtig.
> > Damit ist (NA,+) eine abelsche Gruppe.
> O.K.
> >
> > Sei a [mm]\in[/mm] NA, x [mm]\in[/mm] A beliebig mit [mm]a^n[/mm] = 0. Da [mm](ax)^n[/mm] = [mm]a^n x^n[/mm]
> > = 0 ist ax [mm]\in[/mm] NA. Damit ist NA ein Ideal.
> >
> > ii)
> > Hier habe ich leider noch keine Idee. Wie muss ich denn
> > [mm]N\overline{A}[/mm] verstehen? [mm]N\overline{A}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{"
> und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber
> ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> = {a [mm]\in \overline{A}: a^n[/mm]
> > = 0 für ein n [mm]\in \IN}[/mm] ?
> Ja, genauso musst Du es auffassen.
Danke, dann mache ich mir dazu nochmal meine Gedanken.
> >
> > iii)
> > Sei e eine Einheit und x [mm]\in[/mm] NA nilpotent. Damit ist
> nach
> > Definition [mm]x^n[/mm] = 0. Es gilt auch: e + x = [mm]e(1+e^{-1}x)[/mm] eine
> > Einheit, denn es gilt [mm](ex)^n[/mm] = [mm]e^n x^n[/mm] = 0 und in einem
> > kommutativen Ring ist auch [mm]e^{-1}x[/mm] nilpotent.
> Das scheint nicht sehr zielfuehrend zu sein. Mein Tip: Man
> betrachte zuerst den Fall [mm]e=1[/mm]. Wenn [mm]1+x[/mm] invertierbar ist,
> dann gibt es [mm]y[/mm] mit [mm](1+x)y=1[/mm], d.h. [mm]y= \frac{1}{1+x}[/mm]. Um die
> Nilpotenz von [mm]x[/mm] ins Spiel zu bringen, erkennt man in diesem
> Bruch den Grenzwert der geometrischen Reihe. Man hat zwar
> in einem beliebigen Ring keinen Konvergenzbegriff, aber die
> Reihe ist hier trotzdem hilfreich.
Okay, danke. Also was hälst du hiervon?
Betracht zunächst e = 1.
=> zz. 1+x ist eine Einheit
1+x ist eine Einheit, wenn ein b [mm] \not= [/mm] 0 existiert mit ab = 1, wobei a=1+x.
=> Das Inverse zu 1+x ist 1 + [mm] \summe_{i=1}^{n}(-1)^i x^i, [/mm] denn [mm] (1+\summe_{i=1}^{n}(-1)^i x^i)*(1+x) [/mm] = [mm] 1+\summe_{i=1}^{n}(-1)^i x^i+x+\summe_{i=1}^{n}(-1)^i x^{i+1}) [/mm] = [mm] X-\summe_{i=2}^{n}(-1)^i x^i)+1-\summe_{i=1}^{n}(-1)^i x^i) [/mm] = x+1-x = 1
Damit ist 1+x eine Einheit.
Betrachte nun den allgemeinen Fall:
zz e+x ist eine Einheit
Das Inverse zu e+x ist [mm] (e^{-1}-x+x^2-x^3+....+(-1)^{n-1}x^{n-1}) [/mm] , denn [mm] (e+x)(e^{-1}-x+x^2-x^3+....+(-1)^{n-1}x^{n-1})
[/mm]
= [mm] 1-ex+ex^2-ex^3+....+(-1)^{n-1}ex^{n-1}+(e^{-1}x^{-1}-1+x-x^2+...+(-1)^{n-1}x^{n-2}) [/mm]
[mm] =e((-1)^nx^n+1/e) [/mm] = [mm] e((-1)^n [/mm] * 0 + 1/e) = 1, da [mm] x^n [/mm] = 0
Ich hoffe , dass ich mich beim zusammenfassen nicht vertan habe.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:19 Do 20.11.2014 | | Autor: | hippias |
> > > i) Es sind mehrere Dinge zu zeigen:
> > > - (NA,+) ist eine abelsche Gruppe
> > > - ax [mm]\in[/mm] NA [mm]\forall[/mm] a [mm]\in[/mm] NA und [mm]\forall[/mm] x [mm]\in[/mm] R
> > >
> > > Nach Definition sind 0 [mm]\in[/mm] NA und a [mm]\in[/mm] NA.
> > > Außerdem ist -a [mm]\in[/mm] NA, denn [mm](-a)^n[/mm] = [mm](-1)^n a^n[/mm] =
> 0
> > > Seien a,b [mm]\in[/mm] NA, n1,n2 [mm]\in \IN[/mm] mit a^n1 = b^n2 = 0
> > > Insbesondere gilt:
> > > (a+b)^(n1+n2) = [mm]\summe_{k=0}^{n1+n2} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k[/mm]
> > > b^(n1+n2-k) =
> > Dies ...
> > > [mm]\summe_{k=0}^{n1} \summe_{k=n1 + 1}^{n1+n2} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k}[/mm]
> > > = [mm]\summe_{k=n1 + 1}^{n1+n2} \summe_{k=0}^{n1} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k}[/mm]
> > ... sieht ziemlich falsch aus, aber hier...
>
> Dann lasse ich das einfach weg. Wollte damit die
> Kommutativität von NA begründen. Aber ich die dann daraus
> folgern, dass es egal ist, ob ich erst [mm]a^k[/mm] und dann
> [mm]b^{n1+n1-k}[/mm] schreibe oder umgekehrt?
Diese Frage verstehe ich nicht. Im Uebrigen hast Du doch $A$ als kommutativ vorausgesetzt und auch die Gleichung [mm] $(a+b)^{n}= \sum_{l=0}^{n} \binom{n}{l} a^{l}b^{n-l}$ [/mm] gilt i.a. nur in kommutativen Ringen.
> > >
> > > = [mm]\summe_{k=0}^{n1} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k}[/mm] +
> > > [mm]\summe_{k=n1 + 1}^{n1+n2} \vektor{n1+n2 \\ k} a^k b^{n1+n2-k}[/mm]
> > > = 0 also ist auch a+b [mm]\in[/mm] NA.
> > ... wird es wieder richtig.
> > > Damit ist (NA,+) eine abelsche Gruppe.
> > O.K.
> > >
> > > Sei a [mm]\in[/mm] NA, x [mm]\in[/mm] A beliebig mit [mm]a^n[/mm] = 0. Da [mm](ax)^n[/mm] = [mm]a^n x^n[/mm]
> > > = 0 ist ax [mm]\in[/mm] NA. Damit ist NA ein Ideal.
> > >
> > > ii)
> > > Hier habe ich leider noch keine Idee. Wie muss ich
> denn
> > > [mm]N\overline{A}[/mm] verstehen? [mm]N\overline{A}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{"
> und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber
> ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> Markierung)
>
> Eingabefehler: "{"
> > und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber
> > ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote
> > Markierung)
> >
> > = {a [mm]\in \overline{A}: a^n[/mm]
> > > = 0 für ein n [mm]\in \IN}[/mm] ?
> > Ja, genauso musst Du es auffassen.
>
> Danke, dann mache ich mir dazu nochmal meine Gedanken.
>
> > >
> > > iii)
> > > Sei e eine Einheit und x [mm]\in[/mm] NA nilpotent. Damit ist
> > nach
> > > Definition [mm]x^n[/mm] = 0. Es gilt auch: e + x = [mm]e(1+e^{-1}x)[/mm] eine
> > > Einheit, denn es gilt [mm](ex)^n[/mm] = [mm]e^n x^n[/mm] = 0 und in einem
> > > kommutativen Ring ist auch [mm]e^{-1}x[/mm] nilpotent.
> > Das scheint nicht sehr zielfuehrend zu sein. Mein Tip:
> Man
> > betrachte zuerst den Fall [mm]e=1[/mm]. Wenn [mm]1+x[/mm] invertierbar ist,
> > dann gibt es [mm]y[/mm] mit [mm](1+x)y=1[/mm], d.h. [mm]y= \frac{1}{1+x}[/mm]. Um die
> > Nilpotenz von [mm]x[/mm] ins Spiel zu bringen, erkennt man in diesem
> > Bruch den Grenzwert der geometrischen Reihe. Man hat zwar
> > in einem beliebigen Ring keinen Konvergenzbegriff, aber die
> > Reihe ist hier trotzdem hilfreich.
>
> Okay, danke. Also was hälst du hiervon?
> Betracht zunächst e = 1.
> => zz. 1+x ist eine Einheit
> 1+x ist eine Einheit, wenn ein b [mm]\not=[/mm] 0 existiert mit ab
> = 1, wobei a=1+x.
> => Das Inverse zu 1+x ist 1 + [mm]\summe_{i=1}^{n}(-1)^i x^i,[/mm]
> denn [mm](1+\summe_{i=1}^{n}(-1)^i x^i)*(1+x)[/mm] =
> [mm]1+\summe_{i=1}^{n}(-1)^i x^i+x+\summe_{i=1}^{n}(-1)^i x^{i+1})[/mm]
> = [mm]X-\summe_{i=2}^{n}(-1)^i x^i)+1-\summe_{i=1}^{n}(-1)^i x^i)[/mm]
> = x+1-x = 1
> Damit ist 1+x eine Einheit.
Davon halte ich viel.
>
> Betrachte nun den allgemeinen Fall:
> zz e+x ist eine Einheit
> Das Inverse zu e+x ist
> [mm](e^{-1}-x+x^2-x^3+....+(-1)^{n-1}x^{n-1})[/mm] , denn
> [mm](e+x)(e^{-1}-x+x^2-x^3+....+(-1)^{n-1}x^{n-1})[/mm]
> =
> [mm]1-ex+ex^2-ex^3+....+(-1)^{n-1}ex^{n-1}+(e^{-1}x^{-1}-1+x-x^2+...+(-1)^{n-1}x^{n-2})[/mm]
> [mm]=e((-1)^nx^n+1/e)[/mm] = [mm]e((-1)^n[/mm] * 0 + 1/e) = 1, da [mm]x^n[/mm] = 0
Bei dieser Rechnung habe ich etwas den Ueberblick verloren, Deine Ueberlegungen sehen aber grundsaetzlich richtig aus. Schneller geht es, wenn Du den allgemeinen Fall mittels der Gleichung $e+x= [mm] e(1+e^{-1}x)$ [/mm] behandelst und bedenkst, dass $x':= [mm] e^{-1}x$ [/mm] auch nilpotent ist.
>
> Ich hoffe , dass ich mich beim zusammenfassen nicht vertan
> habe.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:53 Do 20.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
Danke für deine Hilfe :)
Kannst du auch nochmal über meine b) gucken ? Ich bin mir da ziemlich unsicher. Habe gestern den ganzen Tag daran rumgebastelt.
"=>" Sei (0) das triviale Nullideal von A.
Da gilt 0 = [mm] 0^1 [/mm] = 0, ist 0 nilpotent.
"<=" Sei a [mm] \in [/mm] A/NA ein nilpotentes Element.
Es soll also gelten [mm] \{ a^n = 0 \forall a \in A/NA \} [/mm]
Z.z. a=0
Induktion:
IA: n = 1 => a = [mm] a^1 [/mm] = 0
IV: Für ein n [mm] \in \IN [/mm] soll gelten: [mm] a^n=0
[/mm]
IS: 0 = [mm] a^n+1 [/mm] = [mm] a*a^{n} [/mm] = a*0 = 0
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:12 Do 20.11.2014 | | Autor: | hippias |
Ich kann keinen Zusammenhang mit der Aufgabenstellung erkennen. Du sollst eine Mengengleichheit zeigen, naemlich dass die Menge der nilpotenten Elemente von $A/NA$ nur die Null enthaelt. Da $0$ trivialerweise in der Menge enthalten ist, genuegt es nachzuweisen, dass ein beliebiges nilpotente Element von $A/NA$ gleich Null ist.
Also: Seien [mm] $x\in [/mm] A/NA$ und [mm] $n\in \IN$ [/mm] so, dass [mm] $x^{n}=0$ [/mm] ist. Z.z. ist, dass $x=0$...
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:47 Do 20.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
> Also: Seien [mm]x\in A/NA[/mm] und [mm]n\in \IN[/mm] so, dass [mm]x^{n}=0[/mm] ist.
> Z.z. ist, dass [mm]x=0[/mm]...
Aus x [mm] \in [/mm] A/NA folgt x+NA [mm] \in [/mm] A.
Da x nilpotent ist, ist auch x+NA nilpotent als Verknüpfung zweier nilpotenter Elemente. Damit gilt [mm] (x+NA)^n [/mm] = 0 = [mm] x^n [/mm] + NA
=> [mm] x^n \in [/mm] NA
=> x [mm] \in [/mm] NA
=> A/NA = {0}
=> [mm] N\overline{A} [/mm] = 0
kann ich das so machen? Bei den letzten 3 Folgepfeilen bin ich mir unsicher
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 14:40 Do 20.11.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Nein, schon die erste Zeile ergibt keinen Sinn. Wenn du [mm] $x\in [/mm] A/NA$ schreibst, dann heißt das, dass $x=x'+NA$ mit [mm] $x'\in [/mm] A$ gilt. Und NA ist kein nilpotentes Element, sondern ein Ideal!
Meistens schreibst man so etwas wie
[mm] $\bar{x}\in [/mm] A/NA [mm] \gdw \bar{x}=x+NA\subseteq [/mm] A$. Sei also [mm] $\bar{x}\in [/mm] A/NA$ und [mm] \bar{x}^n=\bar{0} [/mm] in $A/NA$. Wegen [mm] \bar{x}^n=\overline{x^n} [/mm] gilt dann [mm] $x^n\in [/mm] NA$, das hast du dann auch. Aber wieso folgt daraus dann [mm] $x\in [/mm] NA$? Und dann ist [mm] $\bar{x}=x+NA$ [/mm] welches Element im Ring $A/NA$?
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:55 Do 20.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
> Meistens schreibst man so etwas wie
> [mm]\bar{x}\in A/NA \gdw \bar{x}=x+NA\subseteq A[/mm]. Sei also
> [mm]\bar{x}\in A/NA[/mm] und [mm]\bar{x}^n=\bar{0}[/mm] in [mm]A/NA[/mm]. Wegen
> [mm]\bar{x}^n=\overline{x^n}[/mm] gilt dann [mm]x^n\in NA[/mm], das hast du
> dann auch. Aber wieso folgt daraus dann [mm]x\in NA[/mm]?
Ich hab gedacht: Wegen [mm] x^n [/mm] = 0, muss ja auch x*...*x = 0 sein. Und da x = x gilt und das Produkt 0 ergibt, sobald ein Faktor 0 ist, ist dann x=0.
> Und dann ist [mm]\bar{x}=x+NA[/mm] welches Element im Ring [mm]A/NA[/mm]?
{0}? Weil x ist 0 und [mm] \bar{x} [/mm] = x + NA = 0 + NA [mm] \in [/mm] A also {0} [mm] \in [/mm] A/NA
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:08 Do 20.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > Meistens schreibst man so etwas wie
> > [mm]\bar{x}\in A/NA \gdw \bar{x}=x+NA\subseteq A[/mm]. Sei also
> > [mm]\bar{x}\in A/NA[/mm] und [mm]\bar{x}^n=\bar{0}[/mm] in [mm]A/NA[/mm]. Wegen
> > [mm]\bar{x}^n=\overline{x^n}[/mm] gilt dann [mm]x^n\in NA[/mm], das hast du
> > dann auch. Aber wieso folgt daraus dann [mm]x\in NA[/mm]?
> Ich hab gedacht: Wegen [mm]x^n[/mm] = 0, muss ja auch x*...*x = 0
> sein. Und da x = x gilt und das Produkt 0 ergibt, sobald
> ein Faktor 0 ist, ist dann x=0.
Nein. Aus [mm] x^n=0 [/mm] folgt im allgemeinen nicht x=0. Es gibt zum Beispiel Matrizen A mit [mm] A^2=0 [/mm] und A [mm] \ne [/mm] 0.
> > Und dann ist [mm]\bar{x}=x+NA[/mm] welches Element im Ring [mm]A/NA[/mm]?
> {0}? Weil x ist 0 und [mm]\bar{x}[/mm] = x + NA = 0 + NA [mm]\in[/mm] A also
> {0} [mm]\in[/mm] A/NA
???
Wenn [mm] x^n \in [/mm] NA, so auch x, warum ?
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Do 20.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
> > > Und dann ist [mm]\bar{x}=x+NA[/mm] welches Element im Ring [mm]A/NA[/mm]?
> > {0}? Weil x ist 0 und [mm]\bar{x}[/mm] = x + NA = 0 + NA [mm]\in[/mm] A also
> > {0} [mm]\in[/mm] A/NA
>
> ???
>
> Wenn [mm]x^n \in[/mm] NA, so auch x, warum ?
:( Ich weiß es nicht. Ich glaube, ich sitze schon zu lange an der Aufgabe. Vllt ist x ein Nullteiler? Weil A ist ja kein Integritätsring.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 Do 20.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > > > Und dann ist [mm]\bar{x}=x+NA[/mm] welches Element im Ring [mm]A/NA[/mm]?
> > > {0}? Weil x ist 0 und [mm]\bar{x}[/mm] = x + NA = 0 + NA [mm]\in[/mm] A also
> > > {0} [mm]\in[/mm] A/NA
> >
> > ???
> >
> > Wenn [mm]x^n \in[/mm] NA, so auch x, warum ?
[mm] x^n [/mm] ist nilpotent, also ex. ein m [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] (x^n)^m=0. [/mm] Zeige nun, dass ein p [mm] \in \IN [/mm] ex. mit [mm] x^p=0.
[/mm]
FRED
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> :( Ich weiß es nicht. Ich glaube, ich sitze schon zu lange
> an der Aufgabe. Vllt ist x ein Nullteiler? Weil A ist ja
> kein Integritätsring.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:36 Do 20.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
> [mm]x^n[/mm] ist nilpotent, also ex. ein m [mm]\in \IN[/mm] mit [mm](x^n)^m=0.[/mm]
> Zeige nun, dass ein p [mm]\in \IN[/mm] ex. mit [mm]x^p=0.[/mm]
Also wegen [mm] (x^n)^m [/mm] = 0 gilt auch [mm] x^{nm} [/mm] = 0 und somit auch [mm] x^{mn} [/mm] = 0 und somit auch [mm] (x^m)^n [/mm] = 0. D.h. [mm] x^n [/mm] bleibt nilpotent, unabhängig von der Wahl das x?
Setzt man p = mn, so existiert [mm] x^p [/mm] = 0.
Oder laufe ich gerade in die ganz falsche Richtung?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Do 20.11.2014 | | Autor: | fred97 |
> > [mm]x^n[/mm] ist nilpotent, also ex. ein m [mm]\in \IN[/mm] mit [mm](x^n)^m=0.[/mm]
> > Zeige nun, dass ein p [mm]\in \IN[/mm] ex. mit [mm]x^p=0.[/mm]
>
> Also wegen [mm](x^n)^m[/mm] = 0 gilt auch [mm]x^{nm}[/mm] = 0 und somit auch
> [mm]x^{mn}[/mm] = 0 und somit auch [mm](x^m)^n[/mm] = 0. D.h. [mm]x^n[/mm] bleibt
> nilpotent,
.... und ich bin und bleibe ein Mann....
> unabhängig von der Wahl das x?
Waaaaas ist los ????
> Setzt man p = mn, so existiert [mm]x^p[/mm] = 0.
Ja, [mm] x^{mn}=0
[/mm]
FRED
>
> Oder laufe ich gerade in die ganz falsche Richtung?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:26 Fr 21.11.2014 | | Autor: | Rocky14 |
Danke für eure Hilfe und Geduld!
Ich war mit meinen Gedanken die letzten Tage mehr bei der Klausur, die ich in den nächsten Tagen schreibe. Hatte dadurch ein riesen Brett vorm Kopf. Meine Professorin hat es mir heute nochmal erklärt und jetzt hat es endlich klick gemacht.
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