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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:44 Sa 05.07.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | | Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und sei [mm] $\phi\in [/mm] End(V)$ nilpotent mit Nilpotenzgrad d. Zeigen Sie, dass gilt [mm] $d\leq [/mm] n$ |
Hi,
ich habe eine Frage zu der Lösung dieser Aufgabe.
Es gilt:
[mm] $\phi(v)^{d-1}\neq [/mm] 0$. Nach einem Satz aus der Vorlesung sind also die Vektoren:
$v, [mm] \phi(v), [/mm] ..., [mm] \phi^{d-1}(v)$ [/mm] linear unabhängig, und der davon erzeugte Vektorraum ein Untervektorraum von V und [mm] $\phi$-Invariant.
[/mm]
[mm] $U:=\langle\{v, \phi(v), ..., \phi^{d-1}(v)\}$
[/mm]
Nun gilt
[mm] $dim(U)\leq [/mm] dim(V)$
Meine Frage ist, warum dies nun als Beweis ausreicht?
Liegt es daran, dass [mm] $U\quad \phi$-Invariant [/mm] ist?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:39 So 06.07.2014 | | Autor: | hippias |
Nein, die [mm] $\phi$-Invarianz [/mm] von $U$ ist fuer die Behauptung nicht entscheidend, sondern die Dimensionen der beteiligten Raeume.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 So 06.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Und in wie fern liefert die Dimension der Räume hier eine Begründung, dass der Nilpotenzgrad kleiner als n sein muss?
Das leuchtet mir gerade nicht so sehr ein.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:39 So 06.07.2014 | | Autor: | Berieux |
In V können höchstens n Vektoren linear unabhängig sein.
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