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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:07 So 12.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und n [mm] \in \IN^+ [/mm] . Sei N [mm] \in K^{nxn} [/mm] eine nilpotente Matrix.
a) Zeigen Sie, dass N nicht invertierbar ist.
b) Zeigen sie, dass bereits N ^{n} = 0 ist.
Hinweis: Sei m der Nilpotenz-Index von N, d.h. m ist die kleinste Zahl m ∈ N, so dass [mm] N^m [/mm] = 0 gilt. Zeigen
Sie in Aufgabenteil b) zunächst, dass [mm] kerN^0 [/mm] ⊂ [mm] kerN^1 [/mm] ⊂ [mm] kerN^2 [/mm] ⊂ . . . ⊂ [mm] kerN^m [/mm] eine echt aufsteigende Kette
von Unterräumen ist, d.h. es gilt [mm] kerN^i \not= kerN^{i+1} [/mm] für i ∈ N, i ≤ m − 1. |
Hallo Freunde der Mathe ^^ ich bins mal wieder :D
ich hab ne Frage zu der b) und zwar... wie bestimmt ich nen Kern von ner Matrix, die ich gar nicht kenne oO ich komm da einfach auf keinen grünen Ast, das der Kern von [mm] N^{0} [/mm] = {(0,0......,0)} stimmt hoffentlich, da des ja die Einheitsmatrix ist, aber wie mache ich da weiter? und vorallem... was bring dieser "Hinweis" mir eigentlich oO?
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> Sei K ein Körper und n [mm]\in \IN^+[/mm] . Sei N [mm]\in K^{nxn}[/mm] eine
> nilpotente Matrix.
>
> a) Zeigen Sie, dass N nicht invertierbar ist.
Betrachte die Eigenwerte.
> b) Zeigen sie, dass bereits N ^{n} = 0 ist.
>
> Hinweis: Sei m der Nilpotenz-Index von N, d.h. m ist die
> kleinste Zahl m ∈ N, so dass [mm]N^m[/mm] = 0 gilt. Zeigen
> Sie in Aufgabenteil b) zunächst, dass [mm]kerN^0[/mm] ⊂ [mm]kerN^1[/mm]
> ⊂ [mm]kerN^2[/mm] ⊂ . . . ⊂ [mm]kerN^m[/mm] eine echt aufsteigende
> Kette
> von Unterräumen ist, d.h. es gilt [mm]kerN^i \not= kerN^{i+1}[/mm]
> für i ∈ N, i ≤ m − 1.
> Hallo Freunde der Mathe ^^ ich bins mal wieder :D
> ich hab ne Frage zu der b) und zwar... wie bestimmt ich
> nen Kern von ner Matrix, die ich gar nicht kenne oO ich
> komm da einfach auf keinen grünen Ast, das der Kern von
> [mm]N^{0}[/mm] = {(0,0......,0)} stimmt hoffentlich, da des ja die
> Einheitsmatrix ist, aber wie mache ich da weiter? und
> vorallem... was bring dieser "Hinweis" mir eigentlich oO?
>
Wenn die Dimension des Kernes streng monoton wachsend ist, schluckt diese dann den ganzen VR und die Matrix ist die Nullmatrix, was zu zeigen ist.
>
Sei [mm] $v\in [/mm] Ker(f)$ also f(v)=0, dann ist [mm] $f^2(v)=f(f(v))=0$. [/mm] Dies zeigt [mm] $Ker(f)\subseteq Ker(f^2)$
[/mm]
Man muss sich noch überlegen, dass es ein [mm] $\subset$ [/mm] und kein [mm] $\subseteq$ [/mm] oder gar =.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:03 So 12.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
hallöchen^^
ja die a) hab ich so gelöst (wir hatten noch keine Eigenwerte zumindest nicht unter dem begriff)
das wenn annehme, dass sie invertierbar ist, dass dann gelten muss
N * [mm] N^{-1} [/mm] = [mm] N^{0} [/mm] = I (einheitsmatrix)
dann aber auch [mm] N^{m} [/mm] * [mm] N^{-m} [/mm] = [mm] N^{0} [/mm] = I
da aber [mm] N^{m} [/mm] = 0 dann wäre 0 = I und das ist eine falsche Aussage, also N nicht invertierbar
zu b) kannst du mir vielelicht noch nen tipp geben, irgendwie versteh ich das nicht so ganz sorry
LG
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> hallöchen^^
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> ja die a) hab ich so gelöst (wir hatten noch keine
> Eigenwerte zumindest nicht unter dem begriff)
> das wenn annehme, dass sie invertierbar ist, dass dann
> gelten muss
>
> N * [mm]N^{-1}[/mm] = [mm]N^{0}[/mm] = I (einheitsmatrix)
> dann aber auch [mm]N^{m}[/mm] * [mm]N^{-m}[/mm] = [mm]N^{0}[/mm] = I
> da aber [mm]N^{m}[/mm] = 0 dann wäre 0 = I und das ist eine
> falsche Aussage, also N nicht invertierbar
Ist in Ordnung.
>
> zu b) kannst du mir vielelicht noch nen tipp geben,
> irgendwie versteh ich das nicht so ganz sorry
zu b)
Das die Kette der Kerne aufsteigen ist, hatte ich dir ja schon begründet.
Wegen der Endlichkeit des Vektorraumes muss es ein [mm]k\in\IN[/mm] geben mit [mm]Ker(f^k)=Ker(f^{k+1})[/mm]. Nehmen wir uns ein [mm]v\in Ker(f^{k+2})[/mm] Also [mm]0=f^{k+1}(f(v))[/mm]. Damit ist [mm]f(v)\in Ker(f^{k+1})=Ker(f^k)[/mm]
Das wiederum heißt aber auch [mm]v\in Ker(f^{k+1})[/mm], weil [mm]0=f^k(f(v))=f^{k+1}(v)[/mm]
Insgesamt ist also [mm]ker(f^{k+1})=ker(f^{k+2})[/mm]
Somit steht ja da
[mm]0=Ker(f^0)\subset Ker(f^1)\subset Ker(f^2)\subset \ldots \subset Ker(f^k)=Ker(f^{k+1})=\ldots[/mm]
>
> LG
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:40 So 12.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
ich versteh deine begründungen nicht sorry
kannst du es bitte anderes erklären
LG
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:47 So 12.12.2010 | | Autor: | felixf |
Moin!
> ich versteh deine begründungen nicht sorry
> kannst du es bitte anderes erklären
Wie waer's, wenn du uns verraetst, was genau du nicht verstanden hast?
Warum es ein solches $k$ gibt?
Oder warum aus [mm] $Ker(f^k) [/mm] = [mm] Ker(f^{k+1})$ [/mm] das genannte folgt? (Wenn ja, bis wohin kommst du und was verstehst du dann nicht?)
Einfach so "ich versteh's nicht" sagen ohne genau zu sagen, was du nicht verstehst, ist ueberhaupt nicht konstruktiv.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:59 So 12.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
mein Problem ist
1. das ich nicht verstehe, was mir dieser hinweis bei der Aufgabe sagen will, bzw. wie ich darauf dann komme, das dann folgt, das [mm] N^{n} [/mm] = 0 ist
das ist das erste Problem,
2. verstehe ich nicht, wie ich den Kern von ner Matrix bestimmen kann ohne die Matrix zu kennen
3. verstehe ich die begründung nicht, wieso der Kern monoton wachsend ist, wir hatten bis jetzt nur die Definition vom Kern
okay ich versteh dann schon, dass der [mm] kerN^{m} [/mm] = der gesamte VR ist, da dann nur nullzeilen sind und man so dann genauso viele werte vorwählen kann, wie viel unbekannte man hat aber wie beweist man die monotonität
4. steht auf dem arbeitsblatt doch das ker [mm] N^{i} \not= [/mm] ker [mm] N^{i+1} [/mm] wieso ist dann [mm] Ker(f^k)=Ker(f^{k+1})
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:04 So 12.12.2010 | | Autor: | wieschoo |
> 1.
Das ist die Definition von Nilpotent
> 2.
Du sollst keine Kerne bestimmen, sondern abstrakt es allgemein zeigen
> 3.
Er ist monoton wachsend, da jedes Element in [mm] $Ker(f^i)$ [/mm] auch in [mm] $ker(f^{i+1})$ [/mm] liegt.
> 4. steht auf dem arbeitsblatt doch das ker $ [mm] N^{i} \not= [/mm] $ ker $ [mm] N^{i+1} [/mm] $ wieso ist dann $ [mm] Ker(f^k)=Ker(f^{k+1}) [/mm] $
Es stimmt beides. Mein k ist dein m. Dieses $ [mm] N^{i} \not= [/mm] ker [mm] N^{i+1} [/mm] $ sagt gerade aus, dass nicht [mm] $\subseteq$ [/mm] gilt, sondern nur [mm] $\subset$
[/mm]
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 22:19 So 12.12.2010 | | Autor: | Ray07 |
1. ja ich weiß, dass des die definition ist bzw. das wenn se nilpotent ist, dass bei irgendeinem m gilt, dass [mm] N^{m} [/mm] = 0 ist, aber ich soll ja beweisen, dass wenn es eine nxn matrix ist das n der kleinste wert ist das [mm] N^{n} [/mm] = 0 ist, des hatten wir noch nicht als Definition
2. ja okay, aber dann weiß ich leider auch nicht wie ich des abstrakt machen soll, weil das was in der Aufgabe steht ist eigentlich das einzige, was ich über nilpotent weiß
okay meiner meinung ist [mm] kerN^{0} [/mm] = {(0,0,...,0)} dann ist logisch, dass der in jedem anderen kern auch drin ist, aber wie gesagt, weiter weiß ich leider nicht
3. klar, des versteh ich ja auch, aber mein problem ist ja gerade, wie ich des beweisen soll, weil ich deine Begründung mit f nicht verstehe sorry
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:20 Di 14.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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