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Forum "Gruppe, Ring, Körper" - Nicht-reelle Nullstellen
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Nicht-reelle Nullstellen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:27 Di 24.05.2011
Autor: Lippel

Aufgabe
Zeigen Sie, dass das Polynom $f(X) = [mm] X^5-4X+2$ [/mm] irreduzibel in [mm] $\IQ[X]$ [/mm] ist. Zeigen Sie, dass von den Nullstellen von $f$ in [mm] $\IC$ [/mm] genau zwei nicht-reell sind.

Hallo,

ich habe Schwierigkeiten beim zweiten Teil der Aufgabe. Den ersten Teil sieht man, indem man das Polynom modulo 3 betrachtet und zeigt, dass es keine Nullstellen in [mm] $\IF_3$ [/mm] hat. Anschließend muss man nur noch ausschließen, dass es Produkt zweiter irreduzibler Polynome von Grad 2 und 3 ist, und von denen gibt es ja nicht so viele.

Beim zweiten Teil weiß ich nur wie ich das analytisch lösen kann. Gibt es da eine algebraische Methode. In einer weitern Teilaufgabe soll mit dem Ergebnis die Galoisgruppe bestimmt werden, die ist hier also noch nicht zu bestimmen. Wie kann ich vorgehen? Hat jemand eine Idee?

Vielen Dank für eure Hilfe.

LG Lippel
        
Bezug
Nicht-reelle Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:41 Di 24.05.2011
Autor: wieschoo

Wir hatten immer für Fragen wie im zweiten Teil den Zwischenwertsatz aus der Analysis genommen.
Ich glaube auch, dass man darauf hinaus möchte.
Bezug
                
Bezug
Nicht-reelle Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 23:37 Di 24.05.2011
Autor: felixf

Moin!

> Wir hatten immer für Fragen wie im zweiten Teil den
> Zwischenwertsatz aus der Analysis genommen.
> Ich glaube auch, dass man darauf hinaus möchte.

Der []Satz von Rolle ist hier auch sehr hilfreich. Die Ableitung vom Polynom ist $5 [mm] X^4 [/mm] - 4$, und die Nullstellen lassen sich recht explizit beschreiben. Insbesondere hat die Ableitung genau zwei reelle und zwei echt komplexe Nullstellen.

Damit, mit den Werten des Polynoms an den Nullstellen der Ableitung (bzw. Abschaetzungen dafuer, es reicht aus zu wissen ob sie positiv oder negativ sind) und dem Zwischenwertsatz kann man dann zeigen, dass das Polynom in [mm] $\IR$ [/mm] genau drei Nullstellen hat, und somit zwei echt komplexe Nullstellen.

LG Felix

Bezug
                        
Bezug
Nicht-reelle Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:10 Do 26.05.2011
Autor: wieschoo

Bezug
        
Bezug
Nicht-reelle Nullstellen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:45 Di 24.05.2011
Autor: felixf

Moin Lippel!

> Zeigen Sie, dass das Polynom [mm]f(X) = X^5-4X+2[/mm] irreduzibel in
> [mm]\IQ[X][/mm] ist. Zeigen Sie, dass von den Nullstellen von [mm]f[/mm] in
> [mm]\IC[/mm] genau zwei nicht-reell sind.
>  
> ich habe Schwierigkeiten beim zweiten Teil der Aufgabe. Den
> ersten Teil sieht man, indem man das Polynom modulo 3
> betrachtet und zeigt, dass es keine Nullstellen in [mm]\IF_3[/mm]
> hat. Anschließend muss man nur noch ausschließen, dass es
> Produkt zweiter irreduzibler Polynome von Grad 2 und 3 ist,
> und von denen gibt es ja nicht so viele.

[ok]

> Beim zweiten Teil weiß ich nur wie ich das analytisch
> lösen kann. Gibt es da eine algebraische Methode.

Nun, mit []Sturmschen Ketten kann man das rein algebraisch bestimmen. (Der Beweis dafuer braucht aber vermutlich Analysis.)

Das ist auch die uebliche Methode, mit der man das macht wenn man das auf einem Computer implementieren will.

> In einer
> weitern Teilaufgabe soll mit dem Ergebnis die Galoisgruppe
> bestimmt werden, die ist hier also noch nicht zu bestimmen.
> Wie kann ich vorgehen? Hat jemand eine Idee?

Fuer die Galois-Gruppe? Erstmal den Grad des Zerfaellungskoerpers bestimmen ;-) Er ist sicher durch $5 [mm] \cdot [/mm] 2$ teilbar.

Ein nicht-triviales Element der Galois-Gruppe wird von der komplexen Konjugation induziert.

LG Felix

Bezug
                
Bezug
Nicht-reelle Nullstellen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 00:30 Do 26.05.2011
Autor: Lippel

Hallo,

vielen Dank euch beiden. Hab die Aufgabe analytisch gelöst mit Zwischenwertsatz und Satz von Rolle. Die Sturmschen Ketten wirkten dann doch etwas zu furchteinflösend.

LG Lippel
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