Newtonverfahren < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei f [mm] \in [/mm] C([-a,a]) [mm] \cup [/mm] D((-a,a)) mit stetiger Ableitung und f'(0) [mm] \not=0, [/mm] und f(0)=0. Dann gibt es ein [mm] \epsilon>0, [/mm] sodass für jedes [mm] x_0 \in [-\epsilon, \epsilon], [/mm] die durch
[mm] x_{j+1} [/mm] = [mm] x_j [/mm] - [mm] \frac{f(x_j)}{f'(x_j)}
[/mm]
defenierte folge [mm] x_j [/mm] gegen die nullstelle von f konvergiert. |
Ich verstehe den Anfang des Beweises von der Vorlesung nicht:
Wir wählen [mm] \epsilon [/mm] so klein, dass für beliebige [mm] \phi, \beta \in [/mm] [- [mm] \epsilon, \epsilon]
[/mm]
| 1 - [mm] \frac{f'(\phi)}{f'(\beta)}|< [/mm] 1/2
wieso gilt dieser Sachverhalt?
Gilt das weil [mm] \frac{f'(0)}{f'(0)}=1, [/mm] oder bin ich da falsch? Aber dann kann ich doch [mm] \epsilon [/mm] bel wählen?
Es folgt daraus |x - [mm] \frac{f(x)}{f'(x)}|=|x [/mm] - [mm] \frac{x f'(\phi)}{f'(x)}| [/mm] < 1/2 |x| da f(x)= x f' [mm] (\phi)
[/mm]
(klar)
Der letze SChritt ist mir nun auch nicht klar:
[mm] |x_{j+1} [/mm] | <= [mm] \frac{1}{2^{j+1}} |x_o|, [/mm] also konvergiert [mm] x_{j+1} [/mm] -> 0
LG
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:14 Di 26.02.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei f [mm]\in[/mm] C([-a,a]) [mm]\cup[/mm] D((-a,a)) mit stetiger Ableitung
> und f'(0) [mm]\not=0,[/mm] und f(0)=0. Dann gibt es ein [mm]\epsilon>0,[/mm]
> sodass für jedes [mm]x_0 \in [-\epsilon, \epsilon],[/mm] die durch
> [mm]x_{j+1}[/mm] = [mm]x_j[/mm] - [mm]\frac{f(x_j)}{f'(x_j)}[/mm]
> defenierte folge [mm]x_j[/mm] gegen die nullstelle von f
> konvergiert.
>
> Ich verstehe den Anfang des Beweises von der Vorlesung
> nicht:
>
> Wir wählen [mm]\epsilon[/mm] so klein, dass für beliebige [mm]\phi, \beta \in[/mm]
> [- [mm]\epsilon, \epsilon][/mm]
> | 1 - [mm]\frac{f'(\phi)}{f'(\beta)}|<[/mm]
> 1/2
> wieso gilt dieser Sachverhalt?
Der gilt nicht ! Nimm a=1 und f(x)=x
FRED
> Gilt das weil [mm]\frac{f'(0)}{f'(0)}=1,[/mm] oder bin ich da
> falsch? Aber dann kann ich doch [mm]\epsilon[/mm] bel wählen?
>
>
> Es folgt daraus |x - [mm]\frac{f(x)}{f'(x)}|=|x[/mm] - [mm]\frac{x f'(\phi)}{f'(x)}|[/mm]
> < 1/2 |x| da f(x)= x f' [mm](\phi)[/mm]
> (klar)
>
> Der letze SChritt ist mir nun auch nicht klar:
> [mm]|x_{j+1}[/mm] | <= [mm]\frac{1}{2^{j+1}} |x_o|,[/mm] also konvergiert
> [mm]x_{j+1}[/mm] -> 0
>
> LG
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Hallo,wieso sollte das in gegenbeispiel dafür sein?
Ich erkenne da keinen widerspruch,.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:10 Di 26.02.2013 | | Autor: | fred97 |
Bist Du sicher, dass da steht
| 1 - $ [mm] \frac{f'(\phi)}{f'(\beta)}|< [/mm] $ 1/2 ?
FRED
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:16 Di 26.02.2013 | | Autor: | theresetom |
http://www.univie.ac.at/complexanalysis/pdfs/analysisskript.pdf
S. 17 oben
lg
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> Sei f [mm]\in[/mm] C([-a,a]) [mm]\cup[/mm] D((-a,a)) mit stetiger Ableitung
> und f'(0) [mm]\not=0,[/mm] und f(0)=0. Dann gibt es ein [mm]\epsilon>0,[/mm]
> sodass für jedes [mm]x_0 \in [-\epsilon, \epsilon],[/mm] die durch
> [mm]x_{j+1}[/mm] = [mm]x_j[/mm] - [mm]\frac{f(x_j)}{f'(x_j)}[/mm]
> defenierte folge [mm]x_j[/mm] gegen die nullstelle von f
> konvergiert.
>
>
> Ich verstehe den Anfang des Beweises von der Vorlesung
> nicht:
>
> Wir wählen [mm]\epsilon[/mm] so klein, dass für beliebige [mm]\phi, \beta \in[/mm]
> [- [mm]\epsilon, \epsilon][/mm]
> | 1 - [mm]\frac{f'(\phi)}{f'(\beta)}|<[/mm] 1/2
> wieso gilt dieser Sachverhalt?
Es soll f'(0) [mm] \ne [/mm] 0 sein, beispielsweise f'(0)=k>0 (mit k<0 geht der Beweis ähnlich). Dann gibt es - weil f' stetig sein soll (!!) - eine Umgebung [- $ [mm] \epsilon, \epsilon] [/mm] $ um 0, in der f' nirgendwo um mehr als 10 % von k abweicht. In dieser Umgebung ist der größtmögliche Wert von f' 1,1 k, der kleinstmögliche 0,9 k, alle anderen Werte für dieses Intervall liegen dazwischen. Wählst du nun $ [mm] \phi, \beta \in [/mm] $ [- $ [mm] \epsilon, \epsilon] [/mm] $, so kann $ [mm] \frac{f'(\phi)}{f'(\beta)}| [/mm] $ nur Werte zwischen maximal 1,1k/0,9k <1,25 und 0,9k/1,1k >0,75 annehmen sich somit von 1 nicht mehr als 0,25<1/2 unterscheiden.
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| Aufgabe | | Analysiere den Beweis - kann man die Methode auch durch g(x)= x - C f(x) für ein geeignetes C [mm] \in \IR [/mm] ersetzten? |
Bei mir steht dann zum Newtonverfahren noch eine Frage bez des beweises.
Warum sollte das nicht funktionieren? Ich sehe nicht woran das scheitern sollte. Aber die Aufgabe muss ja einen "Zweck" haben..
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Habe dein Problem bei "Newtons Methode, zahl statt 0" gelöst.
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