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| Aufgabe | | Ermitteln Sie den numerischen Wert von [mm] cos(\bruch{\pi}{9}) [/mm] aus [mm] cos(\bruch{\pi}{3})=0,5 [/mm] , indem Sie eine algebraische Gleichung aufstellen und diese durch das Newton Verfahren näherungsweise lösen. Führen Sie dabei ausgehend vom Startwert [mm] x_{0}=0,9 [/mm] drei Schritte durch und geben Sie in jedem Schritt eine a-posteriori Fehlerabschätzung bzgl. einer Lipschitz-Konstante zum Intervall [0.8,1] an (indem Sie das Newton-Verfahren als Fixpunktiteration betrachten) |
Hallo Leute,
also ich hab zunächst [mm] cos(\bruch{\pi}{3}) [/mm] in folgende Gleichung gebracht:
[mm] \summe_{k=0}^{\infty}\bruch{\bruch{-1}{9}*\pi^{2k}}{(2k)!}=0,5
[/mm]
Nun meine Frage wie ich weiter vorgehe. Setze ich jetzt einfach für k=0.9 ein und beginne so mein Newton Verfahren. Oder muss ich noch etwas anderes bedenken bzw beachten?
Vielen Dank für eure Antworten
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:21 Mo 10.12.2012 | | Autor: | ullim |
Hi,
es gilt [mm] cos(3x)=4cos^3(x)-3cos(x)
[/mm]
Mit [mm] x=\bruch{\pi}{9} [/mm] folgt
[mm] \bruch{1}{2}=cos\left(3*\bruch{\pi}{9}\right)=4*cos^3\left(\bruch{\pi}{9}\right)-3*cos\left(\bruch{\pi}{9}\right)
[/mm]
Mit [mm] z=cos\left(\bruch{\pi}{9}\right) [/mm] ergibt sich die Gleichung
[mm] f(z)=4z^3-3z-\bruch{1}{2}=0
[/mm]
Sei [mm] z_0=0.9 [/mm] dann kannst Du die Newton Iteration [mm] z_{n+1}=z_n-\bruch{f(z_n)}{f'(z_n)} [/mm] anwenden.
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