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| Aufgabe | Eine forschergruppe beobachtet in den Tropen die natürliche Besiedlung von Seen bei Überschwemmungen durch bisher in diesen Seen nicht vorhandene Ruderfußkrebse.
Ihre Untersuchungen und theoretische Überlegungen legen nahe, dass für diesen Fall die lokale Änderungsrat der Krebsdichte im Wasser einer Funktion des Typs:
[mm] f(t)=ke^t/(1+e^t), [/mm] k>0
folgt, d.h f(t) gibt zum Zeitpunkt t in Monaten die Zuwachsrate in Krebsen pro Kubikmeter Wasser pro Monat an, Letzteres näherungsweise, da ganzzahlige Funktionswerte die Ausnahme sind.
1)Bestimme die Zuwachsrate nach 10 Wochen.
2)Begründe, warum die Kurvenschar fk keine Nullstellen besitzt.
3)Zeige, dass gilt [mm] f'(t)=ke^t(1-e^t)/(1+e^t)
[/mm]
4)Wann wird die Zuwachsrate maximal? |
Hallo!
Hier hab ich versucht die folgende Aufgabe zu lösen.
Wofür steht k in der Aufgabe?
[mm] 1)f(1,4)=ke^{1.4}1,4/(1+e^{1.4})^2
[/mm]
k*4,013/1+29,65
Ist das richtig so?Sonst würde es ja heißen, dass über ein monat lang sich die Zahl der Krebse nicht vergrößert hat. Das wäre seltsam,oder?
2)Der Kurvenschar beschreibt die Zuwachsrate der Flußkrebse. Eine nullstelle würde bedeten, dass die Anzahl sich nicht vergrößert hat. Die Flußkrebse vermehren sich ständig.
[mm] 3)f(t)=k*e^t/(1+e^t)^2
[/mm]
[mm] u(t)=e^t*k v(t)=(1+e^t)^2
[/mm]
[mm] u'(t)=e^t*k [/mm] v'(t)= ?
Trozdem passt meine Ableitung nicht. In der lösung bei v'(t) müsste irgendwie k stehen, das ist aber nicht der Fall. Was ist die Ableitung von k?0 oder k?
4)Hier muss man die Extremstelle ausrechnen, oder?Ich weiß gar nicht wie ich hier anfangen soll die Funktion gleich Null setzen soll. Hat jemand ein Tipp wie ich anfangen soll?
[mm] f'(t)=ke^t(1-e^t)/(1+e^t)^3
[/mm]
?
Gruß und vielen Dank für die Hilfe!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:36 So 01.03.2009 | | Autor: | Kroni |
> Eine forschergruppe beobachtet in den Tropen die natürliche
> Besiedlung von Seen bei Überschwemmungen durch bisher in
> diesen Seen nicht vorhandene Ruderfußkrebse.
>
> Ihre Untersuchungen und theoretische Überlegungen legen
> nahe, dass für diesen Fall die lokale Änderungsrat der
> Krebsdichte im Wasser einer Funktion des Typs:
>
> [mm]f(t)=ke^t/(1+e^t),[/mm] k>0
>
> folgt, d.h f(t) gibt zum Zeitpunkt t in Monaten die
> Zuwachsrate in Krebsen pro Kubikmeter Wasser pro Monat an,
> Letzteres näherungsweise, da ganzzahlige Funktionswerte die
> Ausnahme sind.
> 1)Bestimme die Zuwachsrate nach 10 Wochen.
> 2)Begründe, warum die Kurvenschar fk keine Nullstellen
> besitzt.
> 3)Zeige, dass gilt [mm]f'(t)=ke^t(1-e^t)/(1+e^t)[/mm]
> 4)Wann wird die Zuwachsrate maximal?
> Hallo!
Hi,
>
> Hier hab ich versucht die folgende Aufgabe zu lösen.
> Wofür steht k in der Aufgabe?
Das k ist ein sog. Parameter. k steht für irgendeine reelle Zahl mit der Einschränkung, dass diese Zahl echt positiv sein muss ($k>0$). Das nennt man Parameter, weil k zwar irgendeine Zahl sein kann, die aber konsant für alle t ist. D.h. wenn du dir für k eine Zahl ausgedacht hast, bleibt diese immer gleich. Stell dir also einfach vor dass k eine ganz "normale" Zahl ist.
> [mm]1)f(1,4)=ke^{1.4}1,4/(1+e^{1.4})^2[/mm]
> k*4,013/1+29,65
Wie kommst du auf 1.4? Es steht doch dort 10 Wochen. Da t in Monaten angegeben werden soll, 10 Wochen sind ja 4+4+2 Wochen, also 2.5 Monate...Generell ist dein Vorgehen aber richtig.
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> Ist das richtig so?Sonst würde es ja heißen, dass über ein
> monat lang sich die Zahl der Krebse nicht vergrößert hat.
> Das wäre seltsam,oder?
>
> 2)Der Kurvenschar beschreibt die Zuwachsrate der
> Flußkrebse. Eine nullstelle würde bedeten, dass die Anzahl
> sich nicht vergrößert hat. Die Flußkrebse vermehren sich
> ständig.
Ja, die vermehren sich ständig, aber es können ja auch Krebse sterben, was eine negative Zuwachsrate bedeuten würde. Generell könnte man da also auch sagen: Nunja, generell ist die Begründung aber schon okay, dass wohl mehr Krebse geboren werden als die sterben.
Damit man das aber auch sieht, würde ich mit der Funktion argumentieren, an der man dann auch sofort sieht, dass es keine Nullstellen gibt.
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> [mm]3)f(t)=k*e^t/(1+e^t)^2[/mm]
>
> [mm]u(t)=e^t*k v(t)=(1+e^t)^2[/mm]
> [mm]u'(t)=e^t*k[/mm] v'(t)= ?
Bei $v'(t)$ oder auch [mm] $\dot{v}$, [/mm] wie die Physiker das schreiben, musst du die Kettenregel anwenden, d.h. erst das "Quadrat ableiten", dann die innere Ableitung mit drankleben.
>
> Trozdem passt meine Ableitung nicht. In der lösung bei
> v'(t) müsste irgendwie k stehen, das ist aber nicht der
> Fall. Was ist die Ableitung von k?0 oder k?
Stell dir das k, wie oben schon geschrieben, einfach vor wie eine Zahl. Wenn du irgendwo eine konstante Zahl multiplikativ vor der Funktion stehen hast, weist du ja auch, wie du dann ableiten musst.
>
> 4)Hier muss man die Extremstelle ausrechnen, oder?Ich weiß
> gar nicht wie ich hier anfangen soll die Funktion gleich
> Null setzen soll. Hat jemand ein Tipp wie ich anfangen
> soll?
>
> [mm]f'(t)=ke^t(1-e^t)/(1+e^t)^3[/mm]
> ?
Nun, die Funktion f(t) gibt dir ja genau die lokale Zuwachsrate an. Jetzt suchst du den Zeitpunkt t, wo f(t) maximal wird. Also gehst du auf Suche nach einem ...?
Die Idee mit Nullsetzen und f'(t) ist schonmal die völlig richtige Richtung =)
>
Viele Grüße,
Kroni
> Gruß und vielen Dank für die Hilfe!
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Hm, ich glaube ich mach bei der Ableitung irgendwie immer wieder den gleichen Fehler...
[mm] v(t)=(1+e^t)^2
[/mm]
v'(t)=Also Ableitung von 2 =Nichts und dann mal die Klammer also müsste der Ausdruck [mm] (1+e^t) [/mm] so bleiben?
Gruß und Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 So 01.03.2009 | | Autor: | Kroni |
> ...
> Zu 3)
Hi,
> Hm, ich glaube ich mach bei der Ableitung irgendwie immer
> wieder den gleichen Fehler...
> [mm]v(t)=(1+e^t)^2[/mm]
> v'(t)=Also Ableitung von 2 =Nichts und dann mal die
> Klammer also müsste der Ausdruck [mm](1+e^t)[/mm] so bleiben?
Das passt leider so nicht. Wenn du eine Funktion [mm] $x^2$ [/mm] hast, wie schaut dann die Ableitung aus? Genauso musst du das da dann auch machen, nach der Kettenregel. Stell dir vor, dass [mm] $1+e^t$ [/mm] sei sowas wie dein x. Dann weist du, wie die Ableitung von [mm] $x^2$ [/mm] ausschaut. Danach musst du dann noch die innere Ableitung, also die Ableitung von [mm] $1+e^t$ [/mm] dranmultiplizieren.
Du musst aber dann noch bei deiner Funktion aufpassen, weil das dann ja nicht [mm] $(1+e^t)^2$ [/mm] sondern [mm] $1/(1+e^t)^2=(1+e^t)^{-2}$ [/mm] gilt. Aber das geht dann genauso mit dem Ableiten, d.h. das geht auch nach der normalen Potenzregel [mm] $f(x)=x^a\Rightarrow f'(x)=ax^{a-1}$.
[/mm]
LG
Kroni
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> Gruß und Danke!
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