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| Aufgabe | Es sei $A$ eine beliebig große Indexmenge und [mm] $(c_\alpha)_{\alpha\in A}$ [/mm] eine Familie positiver Zahlen mit der Eigenschaft, daß für eine feste Zahl $M$ und alle endlichen Teilmengen [mm] $A_0\subset [/mm] A$ jeweils stets [mm] $\sum_{\alpha\in A_0}c_\alpha\leq [/mm] M$ gilt.
Man zeige, daß dann [mm] $\sum_{\alpha\in A}c_\alpha$ [/mm] konvergiert mit [mm] $\sum_{\alpha\in A}c_\alpha\leq [/mm] M$. |
Hallo zusammen,
für obige Aufgabe habe ich folgenden Hinweis erhalten:
"(Auch) in diesem Fall ist [mm] $\{\alpha\in A|c_\alpha\neq 0\}$ [/mm] abzählbar."
Mein Ansatz ist, daß die Konvergenz von [mm] $\sum_{\alpha\in A}c_\alpha$ [/mm] äquivalent ist zur Konvergenz des Netzes
[mm] $(\sum_{\alpha\in F}c_\alpha)_{F\in\mathfrak{F}(A)}$
[/mm]
mit der Teilmengenbeziehung als Ordnung auf der Menge [mm] $\mathfrak{F}(A)$ [/mm] der endlichen Teilmengen von $A$.
Dieses Netz hat auf dem Kompaktum $[0,M]$ ein konvergentes Teilnetz.
Ich will nun zeigen, daß bereits das ganze Netz gegen den Grenzwert des Teilnetzes konvergiert. Aber wie?
Viele Grüße
Schwager
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:38 Fr 11.01.2008 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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