Negative Binomialverteilung < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Aus Kapazitätsgründen regelt ein Provider den Verbindungsaufbau zufällig. Jeder Versuch eine Verbindung aufzubauen ist mit Wahrscheinlichkeit 0,9 erfolgreich, unabhängig davon, wie viele Versuche von dem Gerät bereits unternommen wurden.
Tim beobachtet, wie viele Versuche benötigt werden, bis sein Computer eine Verbindung erhält.
(a) Geben Sie eine Zufallsvariable X mit Wertebereich und Wahrscheinlichkeitsverteilung an, die Tims Beobachtungen beschreiben kann.
(b) Mit wie vielen Versuchen muss Tim im Mittel rechnen, bis eine Verbindung hergestellt wird?
(c) Tim trifft sich mit zwei Freunden, die den gleichen Provider nutzen. Sie beobachten, wie viele Verbindungsversuche für alle drei Computer zusammen benötigt werden.
i. Geben Sie mit Hilfe der Zufallsvariable X aus (a) eine Zufallsvariable Y an, die in dieser Situation zur Beschreibung verwendet werden kann. Welcher Verteilung genügt diese Zufallsvariable? Geben Sie den Namen und die notwendigen Parameter an!
ii. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz von Y . |
Ich habe bislang folgendes:
(a) Es ist ja nach dem ersten Erfolg gefragt.
Ich hab hier die Geometrische Verteilung
[mm] $X:=\text{Anzahl an versuchen bevor eine Verbdinung aufgabaut wird}$.
[/mm]
[mm] $X_{i}:\Omega\to\left\{ 0,1\right\} [/mm] $
mit
[mm] $X_{i}\left(\omega\right)=\begin{cases}
1 & \text{falls Verbindung erfolgt}\\
0 & \text{falls keine Verbindung erfolgt}
\end{cases}$
[/mm]
Dann beschreibt [mm] $X:=\sum_{i=1}^{n}X_{i}$ [/mm] die Anzahl der Versuche die benötigt werden. Es ist [mm] $W\left(X\right)=\mathbb{N}\cup\left\{ \infty\right\} [/mm] $
mit
[mm] $P\left(X=k\right)=\left(1-p\right)^{n-1}\cdot [/mm] p$.
(b)
Es gilt [mm] E(X)=\frac{10}{9} [/mm] sein.
(c) Hier weiß ich grade nicht wie ich die Zufallsvariable Y genau aufstellen soll.
i. Es müsste sich ja um die Summe dreier Zufallsvariablen handeln.
Also
$ [mm] X_{I}:\text{ Anzahl der versuche zum Verbindungsaufbau an Rechner }i,\,i=1,2,3$
[/mm]
[mm] $Y:\text{Anzahl der benötigten Verbindungen an allen drei Rechnern.}$
[/mm]
[mm] $Y=\sum_{i=1}^{3}X_{i}$
[/mm]
Die Verteilung wäre dann wie bereits oben geschrieben die Negative Binomialverteilung mit $r=3$, $p=0.9$ und [mm] $n\in \IN\cup \{\infty\}$
[/mm]
ii.
Dann ist
[mm] $E\left(Y\right)= \frac{3}{0.9}
[/mm]
[mm] = \frac{10}{3}$
[/mm]
[mm] $V\left(Y\right)= \frac{3\cdot\left(1-0.9\right)}{0.9^{2}}
[/mm]
[mm] = \frac{10}{27}$
[/mm]
Ist das so richtig?
Grade bei den Modellierungen bin ich mir nicht wirklich sicher.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Sa 06.08.2016 | | Autor: | luis52 |
Moin Kruemelmonster2
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Leider ist deine Modellformulierung etwas schraeg. Lass die $n$ Zufallsvariablen [mm] $X_i$ [/mm] weg, betrachte nur [mm] $X=\text{Anzahl an Versuchen bevor eine Verbindung aufgebaut wird}$. [/mm] $X$ ist geometrisch verteilt mit [mm] $W(X)=\{0,1,2,\ldots\}=\IN_0$ [/mm] (nicht [mm] $\IN\cup\{\infty\}$, [/mm] was keinen Sinn ergibt.)
Es ist [mm] $P(X=k)=(1-p)^kp=0.1^k\cdot0.9$, $k=0,1,2,\ldots$ [/mm] Beachte, dass bei deiner Formulierung $(X=0)$ auftreten kann. Bitte korrigiere die weiteren Teilaufgaben entsprechend. Bei c) bist du auf dem richtigen Weg.
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> Es ist [mm]P(X=k)=(1-p)^kp=0.1^k\cdot0.9[/mm], [mm]k=0,1,2,\ldots[/mm]
> Beachte, dass bei deiner Formulierung [mm](X=0)[/mm] auftreten kann.
> Bitte korrigiere die weiteren Teilaufgaben entsprechend.
> Bei c) bist du auf dem richtigen Weg.
>
Ist es nicht vielmehr so, dass bei mir X=0 nicht auftreten kann?
(Allerdings haben wir im Skript die geometrische Verteilung mit [mm] $\IN$ [/mm] statt mit [mm] $\IN_{0}$ [/mm] definiert. Das sollte doch das gleiche sein oder nicht?
[mm] $W(X)=\IN$ [/mm] und [mm] $P(X=k)=(1-p)^{k-1} \cdot [/mm] p$ Man schreibt dafür ja eben k-1 im Exponenten. Ich bin grade etwas verwirrt.
Gut dann müsste ich aber X:= Anzahl an Versuchen bis eine Verbindung aufgebaut wird.
Geht es nicht so auch?
a) Sei $ [mm] X=\text{Anzahl an Versuchen bis eine Verbindung aufgebaut wird} [/mm] $. $X$ ist geometrisch Verteilt mit $ [mm] W(X)=\IN$ [/mm] und
$ [mm] P(X=k)=(1-p)^{k-1} p=0.1^{k-1}\cdot0.9 [/mm] $$, [mm] k\in \IN [/mm] $
(b) $ [mm] E(X)=\frac{10}{9} [/mm] $ sein.
Also muss Tim im Mittel mit mehr als einem Versuch rechnen (evtl. könnte man auch sagen einem, da 1,1 ja sehr nahe bei 1 liegt).
(c)
i. Sei $ [mm] X_{i}:\text{ Anzahl an Versuchen bis eine Verbindung aufgebaut wird an Rechner }i,\,i=1,2,3 [/mm] $
$ [mm] Y:\text{Anzahl an Versuchen bis eine Verbindung aufgebaut wird an allen drei Rechnern} [/mm] $.
Dann ist $ [mm] Y=\sum_{i=1}^{3}X_{i} [/mm] $ mit [mm] $W(Y)=\{3,4,...\}$ [/mm]
$Y$ ist Negative Binomialverteilt mit $ r=3 $, $ p=0.9 $ mit
[mm] P\left(Y=k\right)=\binom{k-1}{3-1}\cdot\left(1-p\right)^{k-3}\cdot p^{3} [/mm]
Anmerkung: Hier müsste die Summe aber in Ordnung gehen, da ich ja die Summe über meiner Zufallsvaribale [mm] X_{i} [/mm] bilde. Somit ist Y=0 möglich.
ii. [mm] $E\left(Y\right)= \frac{3}{0.9} [/mm] = [mm] \frac{10}{3} [/mm] $ und [mm] $V\left(Y\right)= \frac{3\cdot\left(1-0.9\right)}{0.9^{2}} [/mm] = [mm] \frac{10}{27} [/mm] $
LG. Krümmelmonster
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:03 Sa 06.08.2016 | | Autor: | luis52 |
> > Es ist [mm]P(X=k)=(1-p)^kp=0.1^k\cdot0.9[/mm], [mm]k=0,1,2,\ldots[/mm]
> > Beachte, dass bei deiner Formulierung [mm](X=0)[/mm] auftreten kann.
> > Bitte korrigiere die weiteren Teilaufgaben entsprechend.
> > Bei c) bist du auf dem richtigen Weg.
> >
>
> Ist es nicht vielmehr so, dass bei mir X=0 nicht auftreten
> kann?
>
> (Allerdings haben wir im Skript die geometrische Verteilung
> mit [mm]\IN[/mm] statt mit [mm]\IN_{0}[/mm] definiert. Das sollte doch das
> gleiche sein oder nicht?
> [mm]W(X)=\IN[/mm] und [mm]P(X=k)=(1-p)^{k-1} \cdot p[/mm] Man schreibt
> dafür ja eben k-1 im Exponenten. Ich bin grade etwas
> verwirrt.
> Gut dann müsste ich aber X:= Anzahl an Versuchen bis eine
> Verbindung aufgebaut wird.
>
> Geht es nicht so auch?
Ja, das geht. Mit der geometrischen Verteilung kann man sowohl die Anzahl der Fehlversuche als auch die Anzahl der Versuche insgesamt modellieren.
>
>
> a) Sei [mm]X=\text{Anzahl an Versuchen bis eine Verbindung aufgebaut wird} [/mm].
> [mm]X[/mm] ist geometrisch Verteilt mit [mm]W(X)=\IN[/mm] und
>
> [mm]P(X=k)=(1-p)^{k-1} p=0.1^{k-1}\cdot0.9 [/mm][mm], k\in \IN[/mm]
>
>
> (b) [mm]E(X)=\frac{10}{9}[/mm] sein.
>
> Also muss Tim im Mittel mit mehr als einem Versuch rechnen
> (evtl. könnte man auch sagen einem, da 1,1 ja sehr nahe
> bei 1 liegt).
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> (c)
>
> i. Sei [mm]X_{i}:\text{ Anzahl an Versuchen bis eine Verbindung aufgebaut wird an Rechner }i,\,i=1,2,3[/mm]
>
> [mm]Y:\text{Anzahl an Versuchen bis eine Verbindung aufgebaut wird an allen drei Rechnern} [/mm].
>
> Dann ist [mm]Y=\sum_{i=1}^{3}X_{i}[/mm] mit [mm]W(Y)=\{3,4,...\}[/mm]
>
> [mm]Y[/mm] ist Negative Binomialverteilt mit [mm]r=3 [/mm], [mm]p=0.9[/mm] mit
>
> [mm]P\left(Y=k\right)=\binom{k-1}{3-1}\cdot\left(1-p\right)^{k-3}\cdot p^{3}[/mm]
>
> Anmerkung: Hier müsste die Summe aber in Ordnung gehen, da
> ich ja die Summe über meiner Zufallsvaribale [mm]X_{i}[/mm] bilde.
> Somit ist Y=0 möglich.
Wie das? Wenn alle im ersten Versuch Glueck haben, realisiert sich $(Y=3)$. $(Y=0)$ steht auch im Widerspruch zu deiner Angabe [mm]W(Y)=\{3,4,...\}[/mm] .
>
> ii. [mm]E\left(Y\right)= \frac{3}{0.9} = \frac{10}{3}[/mm] und
> [mm]V\left(Y\right)= \frac{3\cdot\left(1-0.9\right)}{0.9^{2}} = \frac{10}{27}[/mm]
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> > Somit ist Y=0 möglich.
>
> Wie das? Wenn alle im ersten Versuch Glueck haben,
> realisiert sich [mm](Y=3)[/mm]. [mm](Y=0)[/mm] steht auch im Widerspruch zu
> deiner Angabe [mm]W(Y)=\{3,4,...\}[/mm] .
Das stimmt es stand noch von vorher dar. Da hatte ich andere Überlegungen. Hab es wohl vergessen zu entfernen :S
Kannst du evtl. nochmal erklären was du genau mit (X=0) ist bei mir möglich meintes?
Vielen lieben Dank,
Krümmelmonster
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:26 Sa 06.08.2016 | | Autor: | luis52 |
> Kannst du evtl. nochmal erklären was du genau mit (X=0)
> ist bei mir möglich meintes?
>
Betrachte [mm] $U=\text{Anzahl der Fehlversuche bevor eine Verbindung aufgebaut wird}$ [/mm] und [mm] $V=\text{Anzahl der Versuche insgesamt}$. [/mm] Es ist [mm] $W(U)=\{0,1,2,3,\ldots\}$ [/mm] und [mm] $W(V)=\{1,2,3,\ldots\}$. [/mm] Die Wahrscheinlichkeitsfunktionen sind
$P(U=u)=q^up$ fuer [mm] $u=0,1,2,3,\ldots$ [/mm] bzw. [mm] $P(V=v)=q^{v-1}p$ [/mm] fuer [mm] $v=1,2,3,\ldots$.
[/mm]
Offenbar ist $V$ genauso verteilt wie $1+U$: $u$ Fehlersuche bedeuten $v=u+1$ Versuche insgesamt.
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