Nachweis für Monotonie < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:43 Di 13.10.2009 | | Autor: | jusdme |
| Aufgabe | Zum Test der Bauchspeicheldrüse wird in diese 0,2g eines Farbstoffes gespritzt und ihre Ausscheidung pro Minute gemessen. Diese beträgt 4%. Deshalb gilt: [mm] (f_{n}) [/mm] = 0,2 * [mm] (0,96)^{n}
[/mm]
Zeigen Sie, dass die Folge [mm] (f_{n}) [/mm] = 0,2 * [mm] (0,96)^{n} [/mm] streng monoton fällt und nach unten beschränkt ist. |
Für den Monotonienachweis muss dann gelten:
(0,2 * [mm] (0,96)^{n+1} [/mm] ) - (0,2 * [mm] (0,96)^{n} [/mm] < 0
Naja und jetzt weiß ich nicht wie ich da weiterrechen soll, wegen dieser n- Potenz :)
Und zur Beschränktheit:
Mir ist schon klar dass die untere Schranke dann bei 0 liegt, aber wie soll ich das zeigen?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:54 Di 13.10.2009 | | Autor: | jerifak |
> (0,2 * [mm](0,96)^{n+1}[/mm] ) - (0,2 * [mm](0,96)^{n}[/mm] < 0
>
> Naja und jetzt weiß ich nicht wie ich da weiterrechen
> soll, wegen dieser n- Potenz :)
Versuch's mal so:
a-b<0 [mm] \gdw [/mm] a<b [mm] \gdw \bruch{a}{b} [/mm] < 1, falls b nicht Null ist. Davon kannst du hier aber ausgehen, wenn du die von dir vermutete Beschränktheit gezeigt hast.
Dazu versuch mal zu zeigen dass [mm] (f_{n+1}) [/mm] > 0 ist und gehe davon aus dass es für [mm] (f_n) [/mm] schon gezeigt ist.
Bei beiden Teilen bräuchtest du prinizpiell auch noch einen Induktionsanfang, aber falls dir das nichts sagt vergiss das Wort wieder ;)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:25 Mi 14.10.2009 | | Autor: | fred97 |
Offensichrlich ist [mm] f_n [/mm] > 0 für jedes n , also ist [mm] (f_n) [/mm] nach unten beschränkt
Weiter ist [mm] \bruch{f_{n+1}}{f_n}= [/mm] 0,96 <1 für jedse n
FRED
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