Nachweis einer Gleichung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:22 Sa 10.11.2007 | | Autor: | kwakS |
| Aufgabe | | Weisen Sie nach, dass cos10+i*sin10 eine 738igste Wurzel aus -1 ist. |
Hallo zusammen,
irgendwie steh ich gerade voll auf dem Schlauch. Die o.g. Aufgabenstellung bringt mich zur Verzweiflung.
Wie kann man die lösen? Hat jemand einen Lösungsansatz?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gruß Harald
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:16 Sa 10.11.2007 | | Autor: | kwakS |
ein Lösungsansatz hab ich schon.
Wenn gilt i²=-1 dann gilt für [mm] \wurzel{-1} [/mm] =i
also hätte ich dann die Formel
cos10+i*sin10=i
und weiter?? oder wars das schon???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:36 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Harald,
das hilft Dir nicht viel weiter, denn auf was es ankommt, ist die Mehrdeutigkeit der Lösung zu berücksichtigen,
Gruß,
Infinit
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:45 Sa 10.11.2007 | | Autor: | Infinit |
Hallo Harald,
mit Hilfe der Formel von Moivre kannst Du die Wurzeln aus einer komplexen Zahl ziehen.
Hierfür formt man die kompexe Zahl in Polarkoordinaten um und muss nur noch berücksichtigen, dass der Winkel der Ergebnisse mehrdeutig ist.
$ [mm] \wurzel[n]{z}=r^{\bruch{1}{n}} \cdot [/mm] ( [mm] \cos (\bruch{\varphi}{n} [/mm] + k [mm] \bruch{2 \pi}{n} [/mm] ) + j [mm] \sin (\bruch{\varphi}{n} [/mm] + k [mm] \bruch{2 \pi}{n} [/mm] ) ) $
mit k = 0 , ..., n-1. Eine komplexe Wurzel n-ten Grades hat also n Lösungen, die auf einem Kreis mit dem Radius $ [mm] r^{\bruch{1}{n}} [/mm] $ liegen. Das sollte sofort die Lösung ergeben.
Umgekehrt kannst Du auch die Dir vorgegebene Lösung mit 738 potenzieren und dann nachgucken ob Du auf der -1 landest.
Viele Grüße,
Infinit
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 11:07 So 11.11.2007 | | Autor: | kwakS |
Hallo Infinit,
irgendwie komme ich weder mit der von dir genannten Formel auf -1 noch mit dem Potenzieren meiner genannten Formel.
Könntest du vielleicht mit ein kleinen Lösungsweg zeigen oder so ähnlich???
Grüsse Harald
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> irgendwie komme ich weder mit der von dir genannten Formel
> auf -1 noch mit dem Potenzieren meiner genannten Formel.
> Könntest du vielleicht mit ein kleinen Lösungsweg zeigen
> oder so ähnlich???
Hallo,
laß uns die Sache lieber umdrehen: zeig mal, was Du gerechnet hast!
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:34 So 11.11.2007 | | Autor: | kwakS |
Hallo Angela,
hier meine Ansätze
z^738=(1*(cos10+i*sin10))^738
dann ist aufgelöst mein z=0,984807753 als nicht |z|
daher würde ich sagen,dass dieser Lösungsansatz Fehler birgt.
der Ansazt von Infinit
=1*(cos(10+737*2*pi)/738+i*sin(10+737*2*pi)/738)
=0,999965743-0,008277212i
wenn wie bei der o.g. Gleichung i wegfallen würde, dann würde das Ergebnis |z|=1 sein und damit würde alles passen. nur ich bekommen das i aus der Gleichung nicht raus.
Oder habe ich total falsch gerechnet???
Gruß Harald
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 So 11.11.2007 | | Autor: | Zwerglein |
Hi, kwaks,
und warum hast Du für k nun grade 737 eingesetzt?
mfG!
Zwerglein
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:23 So 11.11.2007 | | Autor: | kwakS |
Weil ja für k =n-1 gilt.
Gruß kwakS
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:26 So 11.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo kwakS!
Du must die ![[]](/images/popup.gif) Moivre-Formel schon richitg anwenden mit:
[mm] $$z^n [/mm] \ = \ [mm] \left\{r*\left[\cos(\varphi)+i*\sin(\varphi)\right]\right\}^n [/mm] \ = \ [mm] r^n*\left[\cos(n*\varphi)+i*\sin(n*\varphi)\right]$$
[/mm]
Das heißt hier also:
[mm] $$z^{238} [/mm] \ = \ [mm] 1^{238}*\left[\cos(738*10°)+i*\sin(738*10°)\right] [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:52 So 11.11.2007 | | Autor: | kwakS |
Danke Loddar für die Lösung. Irgendwie hab ich die Formel anders interpretiert
Gruß kwakS
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