Nachweis einer Gleichung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:03 Do 03.11.2005 | | Autor: | mat |
Hallo,
ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen und hänge nun fest:
[mm] \vektor{2k \\ k} 4^{-k} [/mm] = [mm] \produkt_{\mu=1}^{k} (1-\bruch{1}{2\mu})
[/mm]
Ich soll dies durch Berechnung nachweisen. D.h. ich muss auf beiden Seiten das Gleiche stehen haben. Hat jemand eine Idee wie dies zu machen ist? Danke im Voraus.
mfg
Matthias
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:29 Do 03.11.2005 | | Autor: | moudi |
Hallo Matthias
Schau dir mal das Produkt rechts an. Wenn du Faktor erweiterst, so erhälst du [mm] $\frac{2\mu-1}{2\mu}$.
[/mm]
Wenn du alle Faktoren von [mm] $\mu=1$ [/mm] bis [mm] $\mu=k$ [/mm] multiplizierst, so erhältst du
im Nenner [mm] $2^k [/mm] k!$ und im Zähler das Produkt aller ungeraden Zahlen von 1 bis k-1.
Es muss natürlich 2k-1 heissen.
Jetzt schaust du dir den Term links an. Setze die Defintion des Binomialkoeffizienten ein und kürze möglichst viel, dann erhälst du das Produkt rechts, wie oben beschrieben.
mfG Moudi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Do 03.11.2005 | | Autor: | mat |
Hallo moudi,
danke für den Tipp. Die rechte Seite verstehe ich, aber ich habe Probleme mit der linken. Wenn ich nach Definition den Binomialkoeffizienten auflöse, bekomme ich [mm] \bruch{2k!}{k!(2k-k)!} \* 4^{-k}.
[/mm]
Nach dem Kürzen [mm] \bruch{2}{k! \*4^{k}}.
[/mm]
Habe ich da einen Fehler oder wie komme ich nun zu der rechten Seite?
Danke.
mfg Matthias
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Hallo Matthias!
> danke für den Tipp. Die rechte Seite verstehe ich, aber ich
> habe Probleme mit der linken. Wenn ich nach Definition den
> Binomialkoeffizienten auflöse, bekomme ich
> [mm]\bruch{2k!}{k!(2k-k)!} \* 4^{-k}.[/mm]
> Nach dem Kürzen
> [mm]\bruch{2}{k! \*4^{k}}.[/mm]
> Habe ich da einen Fehler oder wie
> komme ich nun zu der rechten Seite?
Ich weiß jetzt nicht, wie deine rechte Seite aussieht, aber es muss beim Binomialkoeffizienten doch (2k)! heißen - das ist etwas andere als 2k!. Kommt das Ganze dann vllt hin?
![[gutenacht]](/images/smileys/gutenacht.gif "[gutenacht]")
Bastiane
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:36 Sa 05.11.2005 | | Autor: | mat |
Hallo,
vielen Dank für den Hinweis. Es klappt jetzt :)
mfg
Matthias
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