Nabla-Laplace-Operator < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Ilias |
| Aufgabe | Zeigen sie:
[mm] $\Delta(f*g)=f\Delta(g)+2(\nabla(f))*(\nabla(g))+g\Delta [/mm] f$ |
Hi leute,
ich komm bei der Aufgabe auf keinen Zweig. Hätte jetzt intuitiv einfach [mm] \Delta(f*g) [/mm] für jeweils zwei variablen x1, x2 ausgerechnet.
Der Laplace-Operator ist ja zweimal Nabla-operator angewendet. So steht es zumindest in meiner Formelsammlung. Da das so ist, hätte ich einfach zweimal partiell abgeleitet. Wäre das der richtige Weg?
Vielen dank,peace...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Riley |
Hallo Ilias,
es gilt doch:
[mm] \Delta f(x_1,...,x_n) [/mm] = [mm] \frac{\delta^2 f}{(\delta x_1)^2} [/mm] (x) + ... + [mm] \frac{\delta^2 f}{(\delta x_n)^2} [/mm] (x) = [mm] \sum_{i=1}^n \frac{\delta^2 f}{(\delta x_i)^2} [/mm] (x)
Das heißt du kannst [mm] \Delta(f [/mm] g) umschreiben zu:
[mm] \Delta [/mm] (fg) = [mm] \sum_{i=1}^n \frac{\delta^2(fg)}{(\delta x_i)^2} [/mm] = ... [mm] \star
[/mm]
Dies kann man nun mit der "Produktregel" weiter berechnen, habt ihr die schon bewiesen oder dürft sie anwenden:
[mm] \nabla [/mm] (fg) = g [mm] (\nabla(f)) [/mm] + f [mm] (\nabla [/mm] (g)) ?
Damit folgt dann
... [mm] \star [/mm] = [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] ( [mm] \frac{\delta}{\delta x_i} [/mm] ( g [mm] \frac{\delta f}{\delta x_i} [/mm] + f [mm] \frac{\delta g}{\delta x_i})) [/mm]
= [mm] \sum_{i=1}^n [/mm] ( g [mm] \frac{ \delta^2 f}{\delta x_i ^2} [/mm] + [mm] \frac{\delta f}{\delta x_i} \frac{\delta g}{\delta x_i} [/mm] + f [mm] \frac{\delta^2 g}{\delta x_i^2} [/mm] + [mm] \frac{\delta f}{\delta x_i} \frac{\delta g}{\delta x_i}) [/mm] = ....
Kommst du damit nun weiter ?
Du musst es ja eigentlich nur noch zusammenfassen ;)
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Mo 24.09.2007 | | Autor: | Ilias |
ja danke, das hat mir weitergeholfen...wie so oft ist vieles nicht so schwer wie es scheint...und mathe ist alle mal nicht so schwer, man muss nur die logik dahinter verstehen, nicht war
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