Multiplikativität? < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:21 Di 18.11.2008 | | Autor: | Eliza |
| Aufgabe | | Zeige, dass [mm]f(n)=[\sqrt{n}]-[\sqrt{n-1}],[/mm] [mm]n\in\IN[/mm] eine multiplikative arithmetische Funktion ist. ([mm][][/mm] ist die Gaußklammer, also [x] ist die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.) |
Hallo zusammen!
Also, für die Multiplikativität muss ich ja zeigen, dass [mm]f(p*q)=f(p)*f(q)[/mm], für [mm]ggT(p,q)=1[/mm].
Es ist: [mm]f(p*q)=[\sqrt{p*q}]-[\sqrt{p*q-1}][/mm]
und [mm]f(p)*f(q)=([\sqrt{p}]-[\sqrt{p-1}])*([\sqrt{q}]-[\sqrt{q-1}])[/mm]
[mm]=[\sqrt{p}][\sqrt{q}]-[\sqrt{p}][\sqrt{q-1}]-[\sqrt{p-1}][\sqrt{q}]+[\sqrt{p-1}][\sqrt{q-1}][/mm].
Wie komm ich denn nun hier weiter? Wie kann ich Gaußklammern multiplizieren, bzw. überhaupt diesen Term weiter umformen?
Vielen Dank schonmal für Ideen!
Grüße, Eliza
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Das geht wohl nur per Fallunterscheidung.
"Meistens" gilt [mm] [\wurzel{n}]=[\wurzel{n-1}] [/mm] ja ...
Den Sonderfall, wo das nicht gilt, musst Du einzeln untersuchen: [mm] n=k^2
[/mm]
Für Deine p,q-Variante sind das schon vier Fälle.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Di 18.11.2008 | | Autor: | Eliza |
Ah ja, so gings, super! Danke 
Grüße Eliza
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