Multiplikation von Matrizen < Prozesse+Matrizen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Hallo liebe Forumfreunde,
leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe.
Aufgabe:
In einer Kleinstadt geht jeder von 500 Jugendlichen an jedem Wochenende in eine der beiden Diskotheken STARPLUS und TOPDANCE. Von den STARPLUS-Besuchern wechseln das nächste Mal 30 % zu TOPDANCE,der Rest kommt wieder. Bei den TOPDANCE-Besuchern wechseln das nächste Mal 40 % zu STARPLUS, die übrigen wählen wieder TOPDANCE.
a) Geben Sie die Übergangsmatrix A für eine Woche an und begründen Sie, dass es sich um einen Austauschprozess handelt. Bestimmen Sie danach eine Gleichgewichtsverteilung der Besucher.
b) Wie sieht die Übergangsmatrix für einen vierwöchigen Zeitraum ?
Leider fehlt mir jeglicher Ansatz zu a). Bei b) geht das glaube ich sehr schnell,da man hier ja die Übergangsmatrix entweder mit 4 multiplizieren muss oder 4 mal mit sich multiplizieren muss.
Würd mich über jeden Tipp freuen.
Vielen dank im Voraus.
MfG
Hasan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:37 Mi 27.05.2009 | | Autor: | ullim |
Hi,
> Hallo liebe Forumfreunde,
> leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht
> weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe.
>
> Aufgabe:
>
> In einer Kleinstadt geht jeder von 500 Jugendlichen an
> jedem Wochenende in eine der beiden Diskotheken STARPLUS
> und TOPDANCE. Von den STARPLUS-Besuchern wechseln das
> nächste Mal 30 % zu TOPDANCE,der Rest kommt wieder. Bei den
> TOPDANCE-Besuchern wechseln das nächste Mal 40 % zu
> STARPLUS, die übrigen wählen wieder TOPDANCE.
>
> a) Geben Sie die Übergangsmatrix A für eine Woche an und
> begründen Sie, dass es sich um einen Austauschprozess
> handelt. Bestimmen Sie danach eine Gleichgewichtsverteilung
> der Besucher.
>
x und y beschreiben die Besucherzahl zum Zeitpunkt n
[mm] x_n=STARPLUS_n
[/mm]
[mm] y_n=TOPDANCE_n
[/mm]
Die Frage ist ja nun, wie hoch ist die Besucherzahl zum Zeitpunkt n+1
[mm] x_{n+1}=0.7*x_n+0.4*y_n
[/mm]
[mm] y_{n+1}=0.6*y_n+0.3*x_n
[/mm]
Jetzt die Matirx A aufstellen mit
[mm] \vektor{x_{n+1} \\ y_{n+1}}=A*\vektor{x_{n} \\ y_{n}}
[/mm]
> b) Wie sieht die Übergangsmatrix für einen vierwöchigen
> Zeitraum ?
>
Hier muss man [mm] \vektor{x_{n+4} \\ y_{n+4}} [/mm] ausrechnen aus der Beziehung
[mm] \vektor{x_{n+1} \\ y_{n+1}}=A*\vektor{x_{n} \\ y_{n}} [/mm] durch nacheinander einsetzen.
> Leider fehlt mir jeglicher Ansatz zu a). Bei b) geht das
> glaube ich sehr schnell,da man hier ja die Übergangsmatrix
> entweder mit 4 multiplizieren muss oder 4 mal mit sich
> multiplizieren muss.
Ich denke letzteres, 4 mal mit sich selbst multiplizieren muss, also.
>
> Würd mich über jeden Tipp freuen.
> Vielen dank im Voraus.
> MfG
> Hasan
>
mfg ullim
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Hallo und danke für die schnelle Hilfe.
> Hi,
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> > Hallo liebe Forumfreunde,
> > leider komme ich bei folgender Aufgabe nicht
> > weiter,deshalb bitte ich euch um eure Hilfe.
> >
> > Aufgabe:
> >
> > In einer Kleinstadt geht jeder von 500 Jugendlichen an
> > jedem Wochenende in eine der beiden Diskotheken STARPLUS
> > und TOPDANCE. Von den STARPLUS-Besuchern wechseln das
> > nächste Mal 30 % zu TOPDANCE,der Rest kommt wieder. Bei den
> > TOPDANCE-Besuchern wechseln das nächste Mal 40 % zu
> > STARPLUS, die übrigen wählen wieder TOPDANCE.
> >
> > a) Geben Sie die Übergangsmatrix A für eine Woche an und
> > begründen Sie, dass es sich um einen Austauschprozess
> > handelt. Bestimmen Sie danach eine Gleichgewichtsverteilung
> > der Besucher.
> >
>
> x und y beschreiben die Besucherzahl zum Zeitpunkt n
>
> [mm]x_n=STARPLUS_n[/mm]
>
> [mm]y_n=TOPDANCE_n[/mm]
>
> Die Frage ist ja nun, wie hoch ist die Besucherzahl zum
> Zeitpunkt n+1
>
>
> [mm]x_{n+1}=0.7*x_n+0.4*y_n[/mm]
>
> [mm]y_{n+1}=0.6*y_n+0.3*x_n[/mm]
>
>
> Jetzt die Matirx A aufstellen mit
>
> [mm]\vektor{x_{n+1} \\ y_{n+1}}=A*\vektor{x_{n} \\ y_{n}}[/mm]
[mm] \vektor{0,7x_{n} + 0,4y_{n} \\ 0,3x_{n}+ 0,6y_{n}}=A+\vektor{x_{n} \\ y_{n}}
[/mm]
meine Frage ist nun,was ist A,und wie löse ich das auf,denn ich muss ja die Gleichgewichtsverteilung bewerten?
Vielen Dank im Voraus.
MfG
Hasan
>
>
>
> > b) Wie sieht die Übergangsmatrix für einen vierwöchigen
> > Zeitraum ?
> >
>
> Hier muss man [mm]\vektor{x_{n+4} \\ y_{n+4}}[/mm] ausrechnen aus
> der Beziehung
>
> [mm]\vektor{x_{n+1} \\ y_{n+1}}=A*\vektor{x_{n} \\ y_{n}}[/mm] durch
> nacheinander einsetzen.
>
> > Leider fehlt mir jeglicher Ansatz zu a). Bei b) geht das
> > glaube ich sehr schnell,da man hier ja die Übergangsmatrix
> > entweder mit 4 multiplizieren muss oder 4 mal mit sich
> > multiplizieren muss.
>
> Ich denke letzteres, 4 mal mit sich selbst multiplizieren
> muss, also.
>
> >
> > Würd mich über jeden Tipp freuen.
> > Vielen dank im Voraus.
> > MfG
> > Hasan
> >
>
>
> mfg ullim
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Hallo,
> >
> > [mm]x_{n+1}=0.7*x_n+0.4*y_n[/mm]
> >
> > [mm]y_{n+1}=0.6*y_n+0.3*x_n[/mm]
> >
> >
> > Jetzt die Matirx A aufstellen mit
> >
> > [mm]\vektor{x_{n+1} \\ y_{n+1}}=A*\vektor{x_{n} \\ y_{n}}[/mm]
>
> [mm]\vektor{0,7x_{n} + 0,4y_{n} \\ 0,3x_{n}+ 0,6y_{n}}=A+\vektor{x_{n} \\ y_{n}}[/mm]
>
Wichtig: das "+" ist falsch:
[mm]\vektor{0,7x_{n} + 0,4y_{n} \\ 0,3x_{n}+ 0,6y_{n}}=A*\vektor{x_{n} \\ y_{n}}[/mm]
Schreibe dir in dieser Gleichung einfach mal die Matrix mit den Einträgen auf:
[mm]\vektor{0,7x_{n} + 0,4y_{n} \\ 0,3x_{n}+ 0,6y_{n}}=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }*\vektor{x_{n} \\ y_{n}}[/mm].
Jetzt multiplizierst du auf der rechten Seite mal die Matrix mit dem Vektor und vergleichst die Einträge, die dann entstehen mit der linken Seite - dann kannst du die [mm] a_{ij} [/mm] direkt ablesen:
[mm]\vektor{0,7x_{n} + 0,4y_{n} \\ 0,3x_{n}+ 0,6y_{n}}=\vektor{a_{11}*x_{n} + a_{12}*y_{n} \\ a_{21}*x_{n}+ a_{22}*y_{n}}[/mm]
Jetzt solltest du es wirklich sehen  .
Und für die Aufgabe b) steht die Lösung ja schon in einer der Antworten - die Matrix A ist für eine Woche, d.h. für zwei Wochen musst du die Matrix zweimal anwenden, also [mm]A*A=A^2[/mm] und für vier Wochen viermal, also tatsächlich [mm]A^4[/mm].
Gruß,
weightgainer
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Hallo leider seh ich das immer noch net. ich danke schon im voraus für die Hilfe.> Hallo,
> > >
> > > [mm]x_{n+1}=0.7*x_n+0.4*y_n[/mm]
> > >
> > > [mm]y_{n+1}=0.6*y_n+0.3*x_n[/mm]
> > >
> > >
> > > Jetzt die Matirx A aufstellen mit
> > >
> > > [mm]\vektor{x_{n+1} \\ y_{n+1}}=A*\vektor{x_{n} \\ y_{n}}[/mm]
>
> >
> > [mm]\vektor{0,7x_{n} + 0,4y_{n} \\ 0,3x_{n}+ 0,6y_{n}}=A+\vektor{x_{n} \\ y_{n}}[/mm]
>
> >
>
> Wichtig: das "+" ist falsch:
> [mm]\vektor{0,7x_{n} + 0,4y_{n} \\ 0,3x_{n}+ 0,6y_{n}}=A*\vektor{x_{n} \\ y_{n}}[/mm]
>
> Schreibe dir in dieser Gleichung einfach mal die Matrix mit
> den Einträgen auf:
> [mm]\vektor{0,7x_{n} + 0,4y_{n} \\ 0,3x_{n}+ 0,6y_{n}}=\pmat{ a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} }*\vektor{x_{n} \\ y_{n}}[/mm].
ich verstehe nicht was x und y ist und wie ich das rechnen soll,mit was muss ich das gleichsetzen?das macht mir noch schwierigkeiten.
Vielen Dank im Voraus
MfG
Hasan
> Jetzt multiplizierst du auf der rechten Seite mal die
> Matrix mit dem Vektor und vergleichst die Einträge, die
> dann entstehen mit der linken Seite - dann kannst du die
> [mm]a_{ij}[/mm] direkt ablesen:
>
> [mm]\vektor{0,7x_{n} + 0,4y_{n} \\ 0,3x_{n}+ 0,6y_{n}}=\vektor{a_{11}*x_{n} + a_{12}*y_{n} \\ a_{21}*x_{n}+ a_{22}*y_{n}}[/mm]
>
> Jetzt solltest du es wirklich sehen .
>
> Und für die Aufgabe b) steht die Lösung ja schon in einer
> der Antworten - die Matrix A ist für eine Woche, d.h. für
> zwei Wochen musst du die Matrix zweimal anwenden, also
> [mm]A*A=A^2[/mm] und für vier Wochen viermal, also tatsächlich [mm]A^4[/mm].
>
> Gruß,
> weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 03:21 Do 28.05.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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Hallo,
die Vektoren [mm]\vektor{x_n \\ y_n}[/mm] geben dir zu einem bestimmten Wochenende die prozentualen (oder absoluten) Anteile der Jugendlichen an, die in die erste Disco (das ist [mm]x_n[/mm]) bzw. in die zweite Disco (das ist [mm]y_n[/mm]) gehen. (Anmerkung: Ob es prozentuale oder absolute Angaben sind, hängt davon ab, wie dein Startvektor [mm]\vektor{x_0 \\ y_0}[/mm] aussieht. Der könnte z.B. besagen, dass jeweils die Hälfte der Jugendlichen in die beiden Discos geht, dann wären es prozentuale Angaben, die du in deiner Rechnung bekommst oder es könnte gesagt werden, dass in die erste Disco 299 gehen und in die andere 201. Hier in der Aufgabe hast du ja die Gesamtzahl der Jugendlichen gegeben, deswegen könntest du beides machen - wenn du Startwerte gegeben bekämst.)
Jede Woche ändern sich diese Zahlen gemäß der Vorgaben in der Aufgabe. Diese Änderungen hast du in Gleichungen schon richtig aufgeschrieben:
> > > $ [mm] x_{n+1}=0.7\cdot{}x_n+0.4\cdot{}y_n [/mm] $
> > >
> > > $ [mm] y_{n+1}=0.6\cdot{}y_n+0.3\cdot{}x_n [/mm] $
> > >
Jetzt kannst du diese Gleichungen auch als eine Gleichung mit einer Matrix und den o.g. Vektoren schreiben, d.h. du berechnest die Zahlen des nächsten Wochenendes mit den aktuellen Zahlen, indem du diese mit einer Matrix multiplizierst.
Wenn du also jetzt nochmal auf die ausmultiplizierte Matrixgleichung schaust:
> $ [mm] \vektor{0,7x_{n} + 0,4y_{n} \\ 0,3x_{n}+ 0,6y_{n}}=\vektor{a_{11}\cdot{}x_{n} + a_{12}\cdot{}y_{n} \\ a_{21}\cdot{}x_{n}+ a_{22}\cdot{}y_{n}} [/mm] $
Dann siehst du doch auf der linken und rechten Seite im Prinzip die gleichen Terme, nur stehen links die Zahlen und rechts die Einträge der Matrix, also die [mm] a_{ij}, [/mm] die du gerne wüsstest. So ist [mm] a_{11} [/mm] genau die Zahl vor dem [mm] x_{n} [/mm] in der ersten Zeile, und das ist 0,7, wie du auf der linken Seite erkennen kannst.
Genauso kannst du die anderen Einträge der Matrix einfach ablesen und bekommst so:
[mm]A=\pmat{ 0,7 & 0,4 \\ 0,3 & 0,6 }[/mm]
Wenn du jetzt zur Probe [mm]A*\\vektor{x_n \\ y_n}[/mm] ausrechnest, was dir ja die Zahlen der nächsten Woche, also [mm] \\vektor{x_{n+1} \\ y_{n+1}} [/mm] geben soll, bekommst du genau deine Gleichungen wieder heraus.
Damit hast du jetzt also die Vorschrift in Form einer Matrix gefunden, nach der sich die Besucherzahlen von einer Woche zur nächsten verändern.
Das mit den 4 Wochen ist ja schon mehrfach besprochen worden.
Es gibt jetzt verschiedene Dinge, die man machen kann:
1. Du bekommst eine Startverteilung angegeben und kannst dann ausrechnen, wie sich die Besucherzahlen in den nächsten Wochen verändern.
2. Du rechnest nur mit der Matrix ohne konkrete Besucherzahlen. Wenn du z.B. anschaust, wie sich die Verteilung nach 1000 Wochen entwickelt hat, also [mm] A^{1000} [/mm] berechnest, kannst du an den Einträgen erkennen, wie sich die Besucherzahlen entwickeln werden - vielleicht unabhängig von dem Startwert!
Bei mir ergibt sich (mit Taschenrechner!): [mm]A^{1000}=\pmat{ 0,5714 & 0,5714 \\ 0,4285 & 0,4285 }[/mm].
Jetzt kannst du dir einfach überlegen, dass es egal ist, wie du die 500 Jugendliche am Anfang auf die beiden Discos verteilst - auf lange Sicht werden 57% in die erste und 43% in die zweite Disco gehen.
Ich hoffe, die ausführliche Darstellung hilft dir auch nach Ablauf der Fälligkeit weiter... gestern abend ging das bei mir nicht mehr .
Gruß,
weightgainer
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:05 Do 28.05.2009 | | Autor: | plutino99 |
Hallo
Danke für die sehr ausführliche erklärung.
jetzt habe icch alles verstanden.
Vielen Dank nochmal.
MfG
Hasan
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