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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:44 Di 28.07.2009 | | Autor: | Galati |
| Aufgabe 1 | 1) Es sei A [mm] \in \IR^{(n,n)} [/mm] eine Matrix, λ und [mm] \mu \in \IR [/mm] zwei verschiedene Eigenwerte von A
a)λ ist Eigenwert von [mm] A^{T} [/mm] (also der Transformierten)
b)λ ist Eigenwert von -A
c)u ist Eigenvektor zu λ und v ist Eigenvektor zu [mm] \mu, [/mm] daraus folgt u und v sind linear unabhängig
[mm] d)\{x\in \IR^n:x ist Eigenvektor von A\} [/mm] ist Basis des [mm] \IR^n
[/mm]
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| Aufgabe 2 | 2) Es seien A [mm] \in \IR^{(n,m)} [/mm] eine Matrix und b [mm] \in \IR^n [/mm] \ [mm] \{0\}
[/mm]
a) Rang A=m, daraus folgt das LGS Ax=0 ist lösbar
b) Rang A kleiner n, daraus folgt das LGS Ax=b ist lösbar
c) Rang A=n, daraus folgt das LGS Ax=b ist eindeutig lösbar
[mm] d)\{x \in \IR^m : Ax=b} [/mm] ist ein Untervektorraum des [mm] \IR^m [/mm] |
zu 1) ich würde sagen a und c stimmen, b und d sind falsch
zu 2) Ich glaube in der Aufgabe ist eine Falle eingebaut. Normalerweise wäre die Reihenfolge m,n und nicht wie hier n,m, es könnte sich also um eine Transponierte Matrix A hoch T handeln, was a richtig machen würde und b und c falsch, da dort
dann m stehen sollte. bei d hab ich keinen Plan.
Ich bin aber ein bisschen verwirrt wegen des Wechsel der Indizes n und m
Was denkt ihr? Und könntet ihr eure Anwort kurz erläutern. Wäre suuupi nett.
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt:
http://www.onlinemathe.de/forum/Multiple-Choice-Matrizenrechung-2
LG Simon
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:58 Mi 29.07.2009 | | Autor: | pelzig |
> 1) Es sei A [mm]\in \IR^{(n,n)}[/mm] eine Matrix, λ und [mm]\mu \in \IR[/mm]
> zwei verschiedene Eigenwerte von A
> a)λ ist Eigenwert von [mm]A^{T}[/mm] (also der Transformierten)
Richtig, denn die charakteristischen Polynome sind gleich: [mm] $$\chi_A(t)=\det(A-t\cdot\operatorname{Id})=\det((A-t\cdot \operatorname{Id})^t)=\det(A^t-t\cdot\operatorname{Id})=\chi_{A^t}(t)$$
[/mm]
> b)λ ist Eigenwert von -A
Falsch, z.B. $A=(1)$
> c)u ist Eigenvektor zu λ und v ist Eigenvektor zu [mm]\mu,[/mm]
> daraus folgt u und v sind linear unabhängig
Falsch, falls [mm] $\mu=\lambda$ [/mm] ist, ansonsten richtig.
> [mm]d)\{x\in \IR^n:x ist Eigenvektor von A\}[/mm] ist Basis des
> [mm]\IR^n[/mm]
Nein, denn mit $v$ ist ja auch $2v$ ein Eigenvektor von A, und die sind nicht mehr linear unabhängig.
> 2) Es seien A [mm]\in \IR^{(n,m)}[/mm] eine Matrix und b [mm]\in \IR^n[/mm]
> \ [mm]\{0\}[/mm]
> a) Rang A=m, daraus folgt das LGS Ax=0 ist lösbar
Das ist tautologisch richtig, denn $Ax=0$ hat immer die Lösung $x=0$.
> b) Rang A kleiner n, daraus folgt das LGS Ax=b ist lösbar
Falsch, z.B. $A=0$ und [mm] $b\ne [/mm] 0$
> c) Rang A=n, daraus folgt das LGS Ax=b ist eindeutig
> lösbar
Falsch, es heißt lediglich dass die lineare Abbildung mit der Darstellungsmatrix A surjektiv ist, aber i.A. nicht injektiv, z.B. [mm] A=$\pmat{1&1}$ [/mm] hat Rang n=1, aber sowohl [mm] (0,0)^t [/mm] und [mm] (-1,1)^t [/mm] sind Lösungen von Ax=0.
> [mm]d)\{x \in \IR^m : Ax=b}[/mm] ist ein Untervektorraum des [mm]\IR^m[/mm]
Gilt nur für b=0, ansonsten liegt ja der Nullvektor gar nicht in der Menge...
> zu 2) Ich glaube in der Aufgabe ist eine Falle eingebaut.
> Normalerweise wäre die Reihenfolge m,n und nicht wie hier
> n,m, es könnte sich also um eine Transponierte Matrix A
> hoch T handeln, was a richtig machen würde und b und c
> falsch, da dort
> dann m stehen sollte. bei d hab ich keinen Plan.
> Ich bin aber ein bisschen verwirrt wegen des Wechsel der
> Indizes n und m
Verstehh ich nicht. Meiner Meinung nach stimmt das alles. Wäre [mm] $A\in\IR^{m,n}$, [/mm] dann müsste auch [mm] $b\in\IR^\red{m}$ [/mm] sein...
Gruß, Robert
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