Morgansche Regel < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 08:10 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Becks |
Guten Morgen!
Ich habe eine Frage bezüglich einem Beweis. Zu zeigen ist:
M \ [mm] \bigcup_{}^{} [/mm] S = [mm] \bigcap_{X \in S}^{} [/mm] (M \ X)
Das ist ja die de morgansche Regel. Und ich hatte die auch mal bewiesen, aber für einen anderen Sachverhalt. Da war das was mit A \ (BuC) = (A\ B) u (B\ C). Mich verwirrt dieses Mengensystem. Kann mir da jemand nen Tipp geben, wie ich an den Beweis rangehen muss?
Viele Grüße
Becks
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> Guten Morgen!
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> Ich habe eine Frage bezüglich einem Beweis. Zu zeigen ist:
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> M \ [mm]\bigcup_{}^{}[/mm] S = [mm]\bigcap_{X \in S}^{}[/mm] (M \ X)
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> Das ist ja die de morgansche Regel. Und ich hatte die auch
> mal bewiesen, aber für einen anderen Sachverhalt. Da war
> das was mit A \ (BuC) = (A\ B) u (B\ C).
Hallo,
na, der Sachverhalt hieß wohl etwas anders...
Da nachzuschauen, wäre ansonsten eine gute Idee.
Und die zu beweisende Behauptung heißt wohl eher M \ [mm]\bigcup_{ X \in S}[/mm] X= [mm]\bigcap_{X \in S}^{}[/mm] (M \ X).
In den Voraussetzungen, die Du leider hier nicht mit aufgeschrieben hast, steht bestimmt "sei S ein System von Teilmengen von M".
Das bedeutet, daß S aus einer Ansammlung von Teilmengen von M besteht.
Hinter [mm]\bigcup_{ X \in S}[/mm] X verbirgt sich die Anweisung, daß man diese Mengen, die in S enthalten sind, alle miteinander vereinigen soll.
Für den Beweis nimm Dir ein Element aus M \ [mm]\bigcup_{ X \in S}[/mm] X und zeig, daß es auch in [mm]\bigcap_{X \in S}^{}[/mm] (M \ X) liegt.
Anschließend die umgekehrte Richtung, denn es soll ja die Gleichheit der Mengen gezeigt werden.
Der Anfang wäre so: x [mm] \in [/mm] M \ [mm]\bigcup_{ X \in S}[/mm] X
==> x [mm] \in [/mm] M und x [mm] \not\in[/mm] [mm]\bigcup_{ X \in S}[/mm] X
==>x [mm] \in [/mm] M und ( [mm] \forall [/mm] X [mm] \in [/mm] S : x [mm] \not\in [/mm] X)
==>...
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:05 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Becks |
Erstmal vielen Dank!
Du hattest Recht, ich habe da einige Sachen verdreht. Sorry. :-(
Aber ich kann das noch nicht alles so nachvollziehen. Also dieses Umwandeln kann ich schon nachvollziehen und ich weiß auch, dass wir irgendwie auf das Ergebnis kommen müssen, aber ich weiß nicht, wie ich weiter umformen soll. Kannst du mir vielleicht eine Richtung komplett zeigen?
Stehe mal wieder etwas auf dem Schlauch.
Liebe Grüße
Becks
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:35 Mi 02.11.2005 | | Autor: | taura |
Hallo Becks!
Ich schreib dir mal ausnahmsweise die eine Richtung komplett auf...
Also sei $x [mm] \in [/mm] M [mm] \backslash\ \bigcup_{X \in S} [/mm] X$
[mm] $\Rightarrow x\in [/mm] M [mm] \wedge [/mm] x [mm] \not\in \bigcup_{X \in S}X$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in [/mm] M [mm] \wedge \left( \forall X \in S: x \not\in X \right)$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow \forall [/mm] X [mm] \in [/mm] S: x [mm] \in M\backslash [/mm] X$
[mm] $\Rightarrow [/mm] x [mm] \in \bigcap_{X \in S} \left(M\backslash X\right)$
[/mm]
Schaffst du damit die andere Inklusion selbst? 
Gruß taura
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:46 Mi 02.11.2005 | | Autor: | Becks |
vielen lieben Dank :)
Ich habe beim vorletzten Schritt nicht mehr weitergewusst, aber das ist ja irgendwie immer so. Der "aha" Effekt tritt erst auf, wenn man die Lösung sieht.
Den Rest kriege ich bestimmt hin. Das eine ist ja nur der Weg wieder zurück und beim anderen sollte es analog sein.
Dankeschön für deine Ausnahme ;)
Liebe Grüße Becks
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Hallöle ...
ich hätte da eine Frage - ich bin Schüler in der 13.Klasse und arbeite mich gerade schon ein wenig in den Stoff fürs Mathe-Studium - nur just4fun - ein.
Könntet ihr mir vor diesem Hintergrund erklären, wie man vom
vorletzten auf den letzten Schritt (also auf das "Ergebnis") kommt ^^
Es scheint mir so, als ob der Fall [mm] \forall [/mm] X [element] S auf alle x verallgemeinert wurde...
Naja...ich bin nicht sehr gut im "Problem-beschreiben" - aber es wäre echt nett wenn jemand den Beweis (zumindest in eine Richtung) in Worten kommentieren könnte ^^"""" ....
Ich wäre euch echt dankbar! :)
Beste Grüße!
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> $ [mm] \Rightarrow \forall [/mm] X [mm] \in [/mm] S: x [mm] \in M\backslash [/mm] X $
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \bigcap_{X \in S} \left(M\backslash X\right) [/mm] $
Hallo,
es ist ja S eine Menge, welche Mengen enthält, nämlich Teilmengen von M.
Um zu verdeutlichen, worum es geht, sagen wir mal [mm] S:=\{A,B,C}.
[/mm]
Wir lesen nun
$ [mm] \Rightarrow \forall [/mm] X [mm] \in [/mm] S: x [mm] \in M\backslash [/mm] X $
Was sagt uns das? Für jedes Element X aus S(, also für X=A, B, C) gilt: das besagte Element x liegt in M \ X.
Also ist x in M \ A, M \ B, M \ C.
Wenn x in allen diesen Mengen liegt, liegt x im Schnitt dieser Mengen, und das ist der Tatbestand, den uns die letzte Zeile mitteilt.
> $ [mm] \Rightarrow [/mm] x [mm] \in \bigcap_{X \in S} \left(M\backslash X\right) [/mm] $
Gruß v. Angela
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Hallo!
Vielen Dank für deine Antwort! :) Jetzt habe ichs soweit verstanden!
(Manchmal ist ein wenig Text zwischen der ganzen mathematischen
Symbolik doch recht hilfreich :) )
Bei S handelt es sich ja aber nicht um eine Menge, sondern um ein
System, oder?
Und: (groß) X ist in dem Sinne kein "Element" - also keine Zahl -
sondern wiederum eine Menge.
(klein) x ist dagegen eine "Zahl" - oder?
Beste Grüße und herzlichen Dank :)
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> Bei S handelt es sich ja aber nicht um eine Menge, sondern
> um ein
> System, oder?
Hallo,
bei S handelt es sich um eine Menge, deren Elemente wiederum Mengen sind.
Ich kann Mengen aus ganz beliebigen Objekten zusammenstellen.
Oft hat man Mengen von Zahlen oder Buchstaben, [mm] \{1,2,3,4,...\}, \{a,b,c\}, [/mm] Ich kann aber auch eine Menge definieren, die Türklinken, Schrauben und Katzen enthält, oder eben eine Menge, welche andere Mengen enthalt.
Um solche geht es hier.
Ein Beispiel für eine Menge, deren Elemente Mengen sind, ist die Potenzmenge einer vorgegebenen Menge M: die Potenzmenge enthält sämtliche Teilmengen der Menge M.
Ist [mm] M:=\{a,b,c\}, [/mm] so ist die Potenzmenge von M, [mm] P(M):=\{\emptyset, \{a\}, \{b\}, \{c\}, \{a,b\}, \{a,c\}, \{c,b\}, \{a,b,c\}\}
[/mm]
Hier schreibe ich [mm] \{ \{a,b\}\} \in [/mm] P(M), weil [mm] \{a,b\}\subseteq [/mm] M. Natürlich ist [mm] a\in \{a,b\}.
[/mm]
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> Und: (groß) X ist in dem Sinne kein "Element" - also keine
> Zahl -
> sondern wiederum eine Menge.
Ich habe das große X gewählt, um optisch deutlich zu machen, daß wir es mit Mengen zu tun haben. Und da dieses X in einer Menge aus Mengen, nämlich S, liegt, schreibe ich X [mm] \in [/mm] S.
X ist ein Element der Menge, aber keine Zahl.
> (klein) x ist dagegen eine "Zahl" - oder?
Nun, Du setzt Zahl in Anführungsstriche, deshalb meinst Du vielleicht das Richtige. Was dieses x im Einzelnen ist, wissen wir gar nicht, denn lt. Aufgabenstellung sind die Mengen nicht weiter beschrieben. Wir wissen nicht, was für Objekte da drin sind, ob Zahlen, Schornsteinfeger oder Schrauben. Es spielt für die Aufgabenstellung auch keine Rolle. x ist einfach von der Art, aus welcher die Menge M esteht. Ein Element aus M eben.
Gruß v. Angela
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