Monotonieverhalten < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:30 Di 08.04.2008 | | Autor: | Paolo86 |
| Aufgabe | | Welche der folgenden Funktionen sind streng monoton steigend? |
Hallo zusammen!
Habe hier eine Reihe von Funktionen gegeben, bei denen ich bestimmen muss, welche davon streng monoton steigend sind. Wie gehe ich da am besten vor? Das sind die Funktionen:
a) y= [mm] \bruch{1}{3} [/mm] x³
b) y= [mm] x^{4}
[/mm]
c) y= ln x + [mm] e^{x}
[/mm]
Würde bei a) jetzt folgendermaßen vorgehen:
[mm] a_{x} [/mm] < [mm] a_{x+1}
[/mm]
[mm] \Rightarrow \bruch{1}{3}x^{3} [/mm] < [mm] \bruch{1}{3}x (x+q)^{3}
[/mm]
ein paar Zwischenschritte später....
[mm] \Rightarrow x^{3} [/mm] < [mm] x^{3} [/mm] + 3 [mm] x^{2} [/mm] + 3x + 1
ist das richtig? Wenn ja, wie würde ich denn dann bei b) und c) vorgehen müssen?
Vielen Dank im voraus.
Viele Grüße!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:39 Di 08.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Funktionen untersuchst du auf Monotonie, indem du dir ihre Ableitungen anguckst, da diese ja den Anstieg der Funktionen angeben!
Die Ableitungsfunktion darf nie ihr Vorzeichen ändern, sonst dreht die Monotonie ja um. 0 darfst sie allerdings werden, wie du dann bei a) feststellen wirst.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:45 Di 08.04.2008 | | Autor: | Paolo86 |
warum sollte die ableitung bei a) Null werden??? Soweit ich weiss ist die Ableitung von a) [mm] x^{2} [/mm] und was hat das Ganze mit Ableitungen zu tun?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:51 Di 08.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Die Ableitung gibt dir ja den Anstieg des Grafen an.
Bei f(x)=x² z.B. erhälst du als Ableitung f'(x)=2x. Setzt du nun konkrete x-Werte in f'(x) ein, erhälst du den Anstieg von f(x) an den konkreten Stellen.
Und eine Funktion ist dann Monoton, wenn sie auf ihrem ganzen Definitionsbereich nursteigt oder nur fällt! Wenn sie mal an einer Stelle steigt und an einer mal fällt, so ist die Funktion nicht monoton.
Und eine Funktion steigt an einer stelle, wenn ihre Ableitung an der Stelle >0 ist. Ist sie <0, dann fällt sie an de Stelle. Wenn sie genau 0 ist, kann man es sehen wir man will, aber steigt die Funktion davor und danach, so kann man auch sagen, dass sie an der stelle steigt.
Wenn man jetzt f(x)=x² untersuchen würde, müsste man gucken, ob [mm] f'(x)\ge0 [/mm] oder [mm] f'(x)\le0 [/mm] für alle x aus dem Definitionsbereich ist.
Aber wenn man sich schon x=1 und x=-1 anguckst, so sieht man dass die Funktion bei 1 steigt und bei x=-1 fällt. f(x)=x² wäre demnach nicht monoton.
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 21:54 Di 08.04.2008 | | Autor: | Paolo86 |
und wie wäre das jetzt nach deiner Methode bei meinen 3 Aufgaben wenn ich fragen darf?
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Hey, bestimme doch erst einmal die Ableitungen von den drei Funktionen dann können wir weiter sehen.
Gruß Patrick
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:12 Di 08.04.2008 | | Autor: | Paolo86 |
Ableitungen:
a) [mm] x^{2}
[/mm]
b) [mm] 4x^{3}
[/mm]
c) [mm] \bruch{1}{x} [/mm] + [mm] e^{x}
[/mm]
und was hab ich jetzt genau davon wenn ich fragen darf?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 Di 08.04.2008 | | Autor: | Teufel |
Ok, das sieht schon mal gut aus.
a) f'(x)=x²
Ändern f'(x)=x² mal irgendwo sein Vorzeichen? Nein, denn x² ist ja die Normalparabel, von der du ja weißt, wie sie verläuft! Sie hat zwar eine Nullstelle, ist aber sonst die ganze Zeit positiv. Was heißt das für den Anstieg von [mm] f(x)=\bruch{1}{3}x³?
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:22 Di 08.04.2008 | | Autor: | Paolo86 |
ach okay, habe ich das jetzt richtig verstanden, dass wenn ich beim einsetzen für x in der 1. ableitung der funktion stets positive werte erhalte, die funktion monoton steigend sein muss? und andersrum fallend?
aber wie sehe ich das zB bei komplizierteren Funktionen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:27 Di 08.04.2008 | | Autor: | Teufel |
So ist es.
Und da bei a) die 1. Ableitung immer >0 und an einer stelle =0 ist, ist die Funktion streng monoton steigend.
b) Das solltest du auch alleine hinkriegen, mit deinen neuen Erkenntnissen :)
c)
[mm] f(x)=lnx+e^x
[/mm]
[mm] f'(x)=\bruch{1}{x}+e^x
[/mm]
Hier ist es natürlich schon etwas schwerer zu sehen, ob f'(x) mal positiv oder negativ ist. Fakt ist erst einmal, dass du dir nur f'(x) für x>0 angucken musst, da ja die Ausgangsfunktion nur für x>0 definiert ist (Logarithmus!).
An welcher Stelle kann denn eine (stetige) Funktion das Vorzeichen wechseln? Diese Stellen musst du erstmal versuchen zu berechnen!
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Gruß
