Monotonieverhalten < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:01 Mo 25.12.2006 | | Autor: | Idale |
| Aufgabe | | f(x) = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (x³ + 2x² + 4x + 8) |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hi,
trotz der schönen Weihnachtszeit muss der ein oder andere ran und Mathe machen. ja, so gemein ist die Welt 
Ich soll das monotonieverhalten der folgenden Aufgaben bestimmen u. ich dachte das wäre alles ganz einfach, aber bei genauerer Betrachtung bin ich auf das ein oder andere Problemchen gestoßen...
1. f(x) = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (x³ + 2x² + 4x + 8)
2. f(x) = [mm] \bruch{1}{x + 2}
[/mm]
Zu 1.: erste Ableitung: f'(x) = [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (3x² + 4x + 4)
Nun muss man ja die Nullstellenberechnen u. da ergab sich folgendes Problem für mich:
0 = x² + [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}
[/mm]
Wenn ich jetzt nämlich die p/q-Formel anwende, müsste ich die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen x1,2 = [mm] \bruch{-2}{3} \pm \wurzel{\bruch{-8}{9}}
[/mm]
Es gibt also keine Nullstellen bzw. keine Hoch- u. Tiefpunkte, bedeutet das jetzt auch es gibt kein Monotonieverhalten, oder hab ich einfach nur was falsch gemacht?
Zu 2. f(x) = [mm] \bruch{1}{x + 2}
[/mm]
1. Ableitung: f'(x) = [mm] \bruch{x + 1}{(x+2)²}
[/mm]
Wie berechne ich denn hier die Nullstellen? Multipliziere ich einfach mit (x + 2)² sodass ich dann nach x umstellen kann, d.h. x = - 1 heraus bekomme
dann -1 in die 1.Ableitungsgleichung eingesetzt, was ja [mm] \bruch{0}{(x+2)²}bedeutet, [/mm] aber dann könnte ich ja schon wieder kein Monotonieverhalten bestimme, oder etwa doch?
Bitte um Hilfe
Danke
MFG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:11 Mo 25.12.2006 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> f(x) = [mm]\bruch{1}{5}[/mm] (x³ + 2x² + 4x + 8)
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
> Hi,
>
> trotz der schönen Weihnachtszeit muss der ein oder andere
> ran und Mathe machen. ja, so gemein ist die Welt
>
> Ich soll das monotonieverhalten der folgenden Aufgaben
> bestimmen u. ich dachte das wäre alles ganz einfach, aber
> bei genauerer Betrachtung bin ich auf das ein oder andere
> Problemchen gestoßen...
>
> 1. f(x) = [mm]\bruch{1}{5}[/mm] (x³ + 2x² + 4x + 8)
>
> 2. f(x) = [mm]\bruch{1}{x + 2}[/mm]
>
> Zu 1.: erste Ableitung: f'(x) = [mm]\bruch{1}{5}[/mm] (3x² + 4x +
> 4)
>
> Nun muss man ja die Nullstellenberechnen u. da ergab sich
> folgendes Problem für mich:
>
> 0 = x² + [mm]\bruch{4}{3}x[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
>
> Wenn ich jetzt nämlich die p/q-Formel anwende, müsste ich
> die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen x1,2 =
> [mm]\bruch{-2}{3} \pm \wurzel{\bruch{-8}{9}}[/mm]
>
Da hast du einen "Dreher" drin.
Es gilt: [mm] x_{1;2}=-\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\bruch{16}{9}-\bruch{4}{3}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\bruch{16}{9}-\bruch{12}{9}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\bruch{4}{9}}
[/mm]
[mm] =-\bruch{2}{3}\pm\bruch{2}{3}
[/mm]
> Es gibt also keine Nullstellen bzw. keine Hoch- u.
> Tiefpunkte, bedeutet das jetzt auch es gibt kein
> Monotonieverhalten, oder hab ich einfach nur was falsch
> gemacht?
>
> Zu 2. f(x) = [mm]\bruch{1}{x + 2}[/mm]
>
> 1. Ableitung: f'(x) = [mm]\bruch{x + 1}{(x+2)²}[/mm]
>
> Wie berechne ich denn hier die Nullstellen? Multipliziere
> ich einfach mit (x + 2)² sodass ich dann nach x umstellen
> kann, d.h. x = - 1 heraus bekomme
> dann -1 in die 1.Ableitungsgleichung eingesetzt, was ja
> [mm]\bruch{0}{(x+2)²}bedeutet,[/mm] aber dann könnte ich ja schon
> wieder kein Monotonieverhalten bestimme, oder etwa doch?
Das geht einfacher: Es Genügt, die Nullstelle des Zählers zu betrachten, dann wird der Bruch =0 also hier:
[mm] x_{0}=1
[/mm]
>
> Bitte um Hilfe
>
> Danke
>
> MFG
Bitte
Ach ja: Wenn es keine Nullstelle der Ableitung gibt, ist die Funktion auf ihrem Kompletten Definitonsbereich streng monoton wachsend oder fallend, je nachdem, ob f'(x) grösser oder kleiner Null ist.
Marius
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| Status: |
(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 22:11 Mo 25.12.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Marius
> > 1. f(x) = [mm]\bruch{1}{5}[/mm] (x³ + 2x² + 4x + 8)
> > 0 = x² + [mm]\bruch{4}{3}x[/mm] + [mm]\bruch{4}{3}[/mm]
> >
> > Wenn ich jetzt nämlich die p/q-Formel anwende, müsste ich
> > die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen x1,2 =
> > [mm]\bruch{-2}{3} \pm \wurzel{\bruch{-8}{9}}[/mm]
> >
>
> Da hast du einen "Dreher" drin.
>
> Es gilt:
> [mm]x_{1;2}=-\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\bruch{16}{9}-\bruch{4}{3}}[/mm]
> [mm]=-\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\bruch{16}{9}-\bruch{12}{9}}[/mm]
> [mm]=-\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\bruch{4}{9}}[/mm]
> [mm]=-\bruch{2}{3}\pm\bruch{2}{3}[/mm]
Hier hast du leider einen Dreher gemacht und vergessen, die Haelfte von p zu nehmen. Es war schon so richtig, wie es in der Frage stand:
[mm] $=-\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\red{\bruch{16}{9}}-\bruch{12}{9}}$
[/mm]
Deiner Rechnung nach, müsste die Gleichung
$0 = [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] + [mm] \bruch{4}{3}$
[/mm]
u. a. für das Ergebnis x=0 stimmen.
MfG!
Disap
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> > Hallo
> >
> > f(x) = $ [mm] \bruch{1}{5} [/mm] $ (x³ + 2x² + 4x + 8)
> > Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> > Internetseiten gestellt.
> >
> Hi,
> >
> > trotz der schönen Weihnachtszeit muss der ein oder andere
> > ran und Mathe machen. ja, so gemein ist die Welt
> >
> > Ich soll das monotonieverhalten der folgenden Aufgaben
> > bestimmen u. ich dachte das wäre alles ganz einfach, aber
> > bei genauerer Betrachtung bin ich auf das ein oder andere
> > Problemchen gestoßen...
> >
> > 1. f(x) = $ [mm] \bruch{1}{5} [/mm] $ (x³ + 2x² + 4x + 8)
> >
> > 2. f(x) = $ [mm] \bruch{1}{x + 2} [/mm] $
> >
> > Zu 1.: erste Ableitung: f'(x) = $ [mm] \bruch{1}{5} [/mm] $ (3x² + 4x +
> > 4)
> >
> > Nun muss man ja die Nullstellenberechnen u. da ergab sich
> > folgendes Problem für mich:
> >
> > 0 = x² + $ [mm] \bruch{4}{3}x [/mm] $ + $ [mm] \bruch{4}{3} [/mm] $
> >
> > Wenn ich jetzt nämlich die p/q-Formel anwende, müsste ich
> > die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen x1,2 =
> > $ [mm] \bruch{-2}{3} \pm \wurzel{\bruch{-8}{9}} [/mm] $
> >
> >
> Da hast du einen "Dreher" drin.
>
> Es gilt: $ [mm] x_{1;2}=-\bruch{2}{3}\pm\wurzel{\bruch{\red{16}}{9}-\bruch{4}{3}} [/mm] $
[mm] $\rmfamily \text{2 hoch 2 gleich 4 (die Funktion hat wirklich keine Nullstellen bei der 1. Ableitung. Ist streng monoton steigend auf }\mathbbm{R}\text{. Kann passieren nach dem ganzen Essen heute und gestern ;)).}$
[/mm]
...
> Es gibt also keine Nullstellen bzw. keine Hoch- u.
> Tiefpunkte, bedeutet das jetzt auch es gibt kein
> Monotonieverhalten, oder hab ich einfach nur was falsch
> gemacht?
>
> Zu 2. f(x) = $ [mm] \bruch{1}{x + 2} [/mm] $
>
> 1. Ableitung: f'(x) = $ [mm] \bruch{x + 1}{(x+2)²} [/mm] $
>
> Wie berechne ich denn hier die Nullstellen? Multipliziere
> ich einfach mit (x + 2)² sodass ich dann nach x umstellen
> kann, d.h. x = - 1 heraus bekomme
> dann -1 in die 1.Ableitungsgleichung eingesetzt, was ja
> $ [mm] \bruch{0}{(x+2)²}bedeutet, [/mm] $ aber dann könnte ich ja schon
> wieder kein Monotonieverhalten bestimme, oder etwa doch?
> Das geht einfacher: Es Genügt, die Nullstelle des Zählers zu betrachten, dann wird der Bruch =0 also hier:
> [mm] $x_{0}=1$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Nö. Die 1. Ableitung lautet }-\bruch{1}{\left(x+2\right)^2}\text{ und hat somit keine Nullstellen. Du musst hier}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{die Polstelle in Betracht ziehen; der Graph ist für }\mathbbm{R}^{\not= -2}\text{ streng monoton fallend.}$
[/mm]
[mm] $\rmfamily \text{Gruß, Stefan.}$
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:37 Mo 25.12.2006 | | Autor: | Idale |
Danke schön für die Antworten...aber ein, zwei Sachen versteh ich jetzt immer noch nicht...
> [mm]\rmfamily \text{2 hoch 2 gleich 4 (die Funktion hat wirklich keine Nullstellen bei der 1. Ableitung. Ist streng monoton steigend auf }\mathbbm{R}\text{. Kann passieren nach dem ganzen Essen heute und gestern ;)).}[/mm]
>
Woher weißt du denn jetzt, dass die Funktion streng monoton steigend ist? Das kann doch nicht immer so sein, wenn man die erste Ableitung macht, oder, das muss man doch irgendwie begründen müssen(vor allem in der Klausur)?
Das Gleiche gilt für die zweite Aufgabe...ich verstehe, weshalb man die Polstelle in Betracht ziehen muss, hast du dir jetzt die Funktion kurz skizziert, um dann ablesen zu können, dass die Funktion streng monoton fallend ist, oder hast du das auf einem rechnerischen Wege gemacht?
Danke im Voraus & noch einen schönen 1. u. 2. Weihnachtstag wünsch ich(u. immer schön zu schlagen bei dem vielen Essen )
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:21 Mo 25.12.2006 | | Autor: | Disap |
Hallo Idale.
> Danke schön für die Antworten...aber ein, zwei Sachen
> versteh ich jetzt immer noch nicht...
>
> > [mm]\rmfamily \text{2 hoch 2 gleich 4 (die Funktion hat wirklich keine Nullstellen bei der 1. Ableitung. Ist streng monoton steigend auf }\mathbbm{R}\text{. Kann passieren nach dem ganzen Essen heute und gestern ;)).}[/mm]
>
> >
>
> Woher weißt du denn jetzt, dass die Funktion streng monoton
> steigend ist? Das kann doch nicht immer so sein, wenn man
> die erste Ableitung macht, oder, das muss man doch
> irgendwie begründen müssen(vor allem in der Klausur)?
Also erst einmal möchte ich den M.Rex zitieren: Wenn es keine Nullstelle der Ableitung gibt, ist die Funktion auf ihrem Kompletten Definitonsbereich streng monoton wachsend oder fallend, je nachdem, ob f'(x) grösser oder kleiner Null ist.
Damit hast du die Lösung schon gegeben, da du gezeigt hast, dass deine Funktion (die erste) nirgends die Steigung Null annimmt. Folglich muss die Funktion schon einmal streng monoton wachsend oder fallend sein.
Und ob es nun wachsend oder fallend ist, kannst du z. B. mit dem Unendlichkeitsverhalten (Limes) abschätzen. Du weißt, dass die Funktion (quasi) von unten links kommt und nach oben rechts geht. Förmlicher gilt
[mm] $lim_{x \ to \infty} [/mm] = [mm] \infty$
[/mm]
[mm] $lim_{x \to -\infty} [/mm] = [mm] -\infty$
[/mm]
Somit ist sie also streng monoton steigend.
(Ich weiß nicht mehr, von wem das Argument kam, aber somit kannst du auch sehen, dass die Steigung immer positiv ist (die Ableitung von f(x) ist also immer größer Null! - also steigend)
Monoton wachsend/steigend hättest du z. B. bei der Funktion g(x) = [mm] x^3. [/mm] Da ist es nämlich so, dass du einmal die Steigung Null bei [mm] $x_0=0 [/mm] $ hast. Somit ist g(x) nicht streng monoton wachsend, denn die positive "Steigung" wird ja einmal "unterbrochen", denn an der Stelle [mm] x_0=0 [/mm] ist die Steigung Null.
> Das Gleiche gilt für die zweite Aufgabe...ich verstehe,
> weshalb man die Polstelle in Betracht ziehen muss, hast du
> dir jetzt die Funktion kurz skizziert, um dann ablesen zu
> können, dass die Funktion streng monoton fallend ist, oder
> hast du das auf einem rechnerischen Wege gemacht?
Das lasse ich jetzt erst einmal offen.
> Danke im Voraus & noch einen schönen 1. u. 2. Weihnachtstag
> wünsch ich(u. immer schön zu schlagen bei dem vielen Essen
> )
Danke gleichfalls.
Viele Grüße
Disap
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 04:31 Di 26.12.2006 | | Autor: | Teufel |
Hallo.
Man kann sich auch die 1. Ableitung von der 1. Funktion vorstellen: eine nach oben geöffnete Parabel, die nicht die x-Achse schneidet. Also liegt sie komplett im positiven Bereich und der Anstieg an allen Stellen ist damit auch positiv.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:28 Mo 25.12.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Idale!
Die korrekte Ableitung der 2. Funktion mit $f'(x) \ = \ [mm] -\bruch{1}{(x+2)^2} [/mm] \ = \ [mm] -(x+2)^{-2}$ [/mm] hat Dir Stefan bereits "verraten".
Und diesem Term ist nun zu entnehmen, dass dieser für alle [mm] $x\in\IR\backslash\{-2\}$ [/mm] negativ ist. Damit ist diese Funktion im gesamten Definitionsbereich monoton fallend.
Gruß
Loddar
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