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Forum "Schul-Analysis" - Monotonieverhalten
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Monotonieverhalten: Rückfrage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:19 Sa 09.09.2006
Autor: kimnhi

Hi ihr;)

Ich habe folgende Aufgabe, bei der ich nicht verstehe, wie sie zu diesem Lösungsweg gekommen sind;(
Ich hoffe ihr könnt mir das erklären!
Schon mal vielen Dank im voraus;)

Es ist folgende Funktion gegeben:

f(x)=  [mm] -x^3+3x-2 [/mm]

Nun soll ich das Monotonieverhalten bestimmen, dabei ist folgende Lösung angegeben:

f`(x)= [mm] -3x^2+3 [/mm] =- 3 [mm] (x^2-1) [/mm] =-3 (x+1)(x-1)

Diesen Schritt verstehe ich ja noch ,da diese Funtion in Linearfaktoren zerteilt wurde.
Wie kommt man allerdings auf folgende Unterteilung?

Für x<-1        ist f`(x)<0, f also streng monoton fallend

Für -1< x < 1 ist f`(x) >0 , f also streng monoton wachsend

Für 1 < x       ist f`(x) < 0 , f also streng monton fallend




        
Bezug
Monotonieverhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:37 Sa 09.09.2006
Autor: Gonozal_IX

Hi kimnhi,

es gilt halt für jede Funktion:

Ist f'(x) > 0 auf [a,b], so ist f streng monoton wachsend auf [a,b]
(f'(x) [mm] \ge [/mm] 0 auf [a,b], so ist f nur monoton wachsend)

Ist f'(x) < 0 auf [a,b], so ist f streng monoton fallend auf [a,b]
(für f'(x) [mm] \le [/mm] 0 auf [a,b] so ist f monoton fallend auf [a,b])

Ist f'(x) = 0 auf [a,b], so ist f auf [a,b] konstant.


Nun gucken wir uns  mal deine Ableitung an:

[mm]f'(x) = -3 (x+1)(x-1) [/mm]

So, für [mm]x < -1[/mm] gilt:

[mm](x+1) < 0[/mm]
[mm](x-1) < 0[/mm]
[mm]\Rightarrow f'(x) = -3 * (x+1) (x-1) < 0[/mm]

Für [mm]-1 < x < 1[/mm] gilt:

[mm](x+1) > 0[/mm]
[mm](x-1) < 0 [/mm]
[mm]\Rightarrow f'(x) = -3 *(x+1) (x-1) > 0 [/mm]

für [mm]x > 1[/mm] kriegst du es nun hoffentlich alleine hin ;-)

Gruß,
Gono




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Monotonieverhalten: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:57 Sa 09.09.2006
Autor: kimnhi

erstmal vielen dank;)
aber könntest du mir das vielleicht noch mal anhand dieser Funktion erklären?

[mm] 3x^4 -12x^3+12x^2-3 [/mm]

Wäre echt sehr lieb von dir;(



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Monotonieverhalten: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:07 Sa 09.09.2006
Autor: leduart

Hallo kimnhi
Du weisst doch, lernen kann man nur durch Selbermachen. Also rechne soweit du kommst, und sag dann, wo deine Schwierigkeit noch liegt. Wir rechnen nicht einfach Beispiele vor, denn eines hast du ja schon.
Gruss leduart

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Monotonieverhalten: Ist mein Ansatz richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:58 So 10.09.2006
Autor: kimnhi

Ich habe jetzt mal versucht das Monotonieverhalten anhand der folgenden Funktion zu ermitteln:
[mm] f(x)=3^x4-12x^3+12x^2-3 [/mm]
Um das Monotonieverhalten untersuchen zu können, habe ich zunächst die Extremstellen ermittelt.

[mm] f`(x)=12x^3-36x^2+24x [/mm]
Nach Ausklammern und der pq-Formel habe ich nun folgene Extremstellen raus:
x1=0, x2= 1 und x3=2

f`(x) habe ich  nun in Linearfaktoren zerlegt, so dass gilt:
12x (x-1) (x-2)

Für x <0 ist f`(x) <0 . f also streng monton fallend

Für 0<x<1 ist f`(x)>0 , f also streng monton steigend

Für 1<x<2 ist f`(x)<0, f also streng monoton fallend

Für 2<x ist f`(x) >0 , f also streng monoton wachsend

Für das Krümmungsverhältnis habe ich nun folgendes gemacht:

f"(x) = [mm] 36x^2-72x+24 [/mm]
Als Wendepunkte habe ich: x1 = 1,577 und x2 = 0,423 rausbekommen
f"(x) habe ich wieder in Linearfaktoren zerlegt:

f"(x)= 36 (x-0,423) (x- 1,577)

Für x<0,423 ist f"(x) >0 also eine Linkskrümmung

Für 0,423<x<1,577 ist f" (x) <0 also eine Rechtskrümmung

Für 1,577<x ist f"(x) >0 also eine Linkskrümmung

Ich möchte nun wissen, ob ich es richtig gemacht habe?
Vielen Dank schon mal!;)

Und wie würde der Graph nun aussehen?Ich habe irgendwie ein total komischen Graphen raus;(




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Monotonieverhalten: Hurra! alles r
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:02 So 10.09.2006
Autor: leduart

Hallo  Kim
Alles 100% richtig!
Warum die Zeichnung dir nicht passt weiss ich nicht. es Muss eine Art W geben, ziemlich steil links fallen, rechts steigend, beide Minima auf gleicher Höhe y=-3, Max bei (1,0)
Da dein steigungs und krümmungsverhalten richtig ist, kannst du den Rest überprüfen.
Gruss leduart

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