Monotonieverh. von Kurve < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:38 So 10.01.2010 | | Autor: | a_la_fin |
| Aufgabe | Es sei [mm] C_a [/mm] die Gerade in [mm] \IR^2, [/mm] gegeben durch die Gleichung y = a, wobei a [mm] \in \IR.
[/mm]
Wir definieren die Kurve C : [mm] (\bruch {-\pi}{2}, \bruch{\pi}{2}) [/mm] → [mm] \IR^2 [/mm] durch die parametrische Koordinatenform C : x(t):= tan(t) , y(t):= [mm] cos^2(t)
[/mm]
Geben Sie das Monotonieverhalten von t [mm] \rightarrow [/mm] x(t) und von t [mm] \rightarrow [/mm] y(t) an. |
Hallo zusammen,
mein Ansatz bei dieser Aufgabe war zunächst folgender: x'(t) = tan'(t) = [mm] sec^2(t) [/mm] = 0 [mm] \gdw (\bruch{1}{cos(t)})^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{cos^2(t)} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] 1 = 0 Widerspruch => x(t) hatt keine kritischen Punkte
Ein weiterer Ansatz, den ich daraufhin gewählt habe, um dies zu überprüfen, brachte mich auf das gleiche Ergebnis: tan(x) = [mm] \bruch{sin(t)}{cos(t)} [/mm] => tan'(t) = [mm] \bruch{cos(t)*cos(t) - sin(t)*(-sin(t))}{cos^2(t)} [/mm] = [mm] \bruch{cos^2(t) + sin^2(t)}{cos^2(t)} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{cos^2(t)} [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] 1 = 0
Das die Ableitung der Funktion keine Nullstelle hat, heißt doch, dass sie entweder auf ihrem ganzen Def.bereich (streng) monoton steigend ODER (streng) monoton fallend ist und deswegen keine Extremalstellen hat, oder?
Um zu prüfen, ob die Funktion steigend oder fallend ist, habe ich die 1.Ableitung im Nullpunkt, der ja in der Mitte des Def.bereichs liegt, ausgerechnet: tan'(0) = [mm] \bruch {1}{cos^2(0)} [/mm] = 1 > 0 => x(t) streng monoton steigend im Nullpunkt. Um zu prüfen, ob dies auch an den Rändern des Def.bereichs so ist, habe ich diese in die 1.Ableitung eingesetzt. Da die Ränder laut Aufgabenstellung NICHt zum Def.bereich gehören (merkt man auch, wenn man sie einsetzt, da [mm] tan'(\bruch{- \pi}{2}) [/mm] = [mm] \bruch{1}{cos^2(\bruch{- \pi}{2})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] ja nicht definiert ist (da cos(x - [mm] \bruch{- \pi}{2}) [/mm] ja sin(x) ist. wenn man da 0 einsetzt kommt ja sin(0)=0 heraus. Entsprechend für [mm] cos(\bruch{\pi}{2})= [/mm] - sin(0) = 0 => [mm] \bruch{1}{cos^2(\bruch{- \pi}{2})} [/mm] = [mm] \bruch{1}{0} [/mm] = n.d.!), habe ich jeweils versucht, den Limes zu berechnen: [mm] \limes_{t\rightarrow \bruch{- \pi}{2}} \bruch{1}{cos^2(t)} [/mm] = [mm] \bruch{1}{"0"} [/mm] => Grenzwert existiert nicht.
Nun zur 2.Komponente der Kurve: y(t) = [mm] cos^2(t) [/mm] y'(t) = 2*(cos(t)*(-sin(t))) = -2*cos(t)*sin(t) = 0 [mm] \gdw t_1 [/mm] = 0 , [mm] t_2 [/mm] = [mm] \bruch{- \pi}{2}, t_3 [/mm] = [mm] {\pi}{2}.
[/mm]
2.Ableitung: [mm] \bruch{\partial^2}{\partial*t^2} cos^2(t) [/mm] = [mm] \bruch{\partial}{\partial*t)} [/mm] -2*cos(t)*sin(t) = -2*(cos(t)*cos(t) + (-sin(t))*sin(t)) = [mm] -2*(cos^2(t) [/mm] - [mm] sin^2(t))
[/mm]
[mm] t_1 [/mm] einsetzen: [mm] \bruch{\partial^2}{\partial*t^2} cos^2(0) [/mm] = [mm] -2*(1^2-0^2) [/mm] = -2 < 0 => Maximum bei t=0.
[mm] t_2 [/mm] : [mm] \bruch{\partial^2}{\partial*t^2} cos^2(\bruch{- \pi}{2}) [/mm] = [mm] -2*(0^2-1^2) [/mm] = -2*(-1)=2 > 0 => Minimum bei [mm] t=\bruch{- \pi}{2}
[/mm]
[mm] t_3 [/mm] : [mm] \bruch{\partial^2}{\partial*t^2} cos^2(\bruch{\pi}{2}) [/mm] = [mm] -2*(0^2-1^2) [/mm] = -2*(-1)=2 > 0 => Minimum bei [mm] t=\bruch{\pi}{2} [/mm]
=> y(t) ist zwischen [mm] \bruch{- \pi}{2} [/mm] und 0 streng monoton steigend und zwischen 0 und [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] streng monoton fallend.
Ist das so richtig?
lG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:15 So 10.01.2010 | | Autor: | abakus |
> Es sei [mm]C_a[/mm] die Gerade in [mm]\IR^2,[/mm] gegeben durch die Gleichung
> y = a, wobei a [mm]\in \IR.[/mm]
> Wir definieren die Kurve C :
> [mm](\bruch {-\pi}{2}, \bruch{\pi}{2})[/mm] → [mm]\IR^2[/mm] durch die
> parametrische Koordinatenform C : x(t):= tan(t) , y(t):=
> [mm]cos^2(t)[/mm]
> Geben Sie das Monotonieverhalten von t [mm]\rightarrow[/mm] x(t)
> und von t [mm]\rightarrow[/mm] y(t) an.
> Hallo zusammen,
>
> mein Ansatz bei dieser Aufgabe war zunächst folgender:
> x'(t) = tan'(t) = [mm]sec^2(t)[/mm] = 0 [mm]\gdw (\bruch{1}{cos(t)})^2[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{cos^2(t)}[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] 1 = 0 Widerspruch => x(t) hatt
> keine kritischen Punkte
> Ein weiterer Ansatz, den ich daraufhin gewählt habe, um
> dies zu überprüfen, brachte mich auf das gleiche
> Ergebnis: tan(x) = [mm]\bruch{sin(t)}{cos(t)}[/mm] => tan'(t) =
> [mm]\bruch{cos(t)*cos(t) - sin(t)*(-sin(t))}{cos^2(t)}[/mm] =
> [mm]\bruch{cos^2(t) + sin^2(t)}{cos^2(t)}[/mm] =
> [mm]\bruch{1}{cos^2(t)}[/mm] = 0 [mm]\gdw[/mm] 1 = 0
> Das die Ableitung der Funktion keine Nullstelle hat, heißt
> doch, dass sie entweder auf ihrem ganzen Def.bereich
> (streng) monoton steigend ODER (streng) monoton fallend ist
> und deswegen keine Extremalstellen hat, oder?
>
> Um zu prüfen, ob die Funktion steigend oder fallend ist,
> habe ich die 1.Ableitung im Nullpunkt, der ja in der Mitte
> des Def.bereichs liegt, ausgerechnet: tan'(0) = [mm]\bruch {1}{cos^2(0)}[/mm]
> = 1 > 0 => x(t) streng monoton steigend im Nullpunkt. Um zu
> prüfen, ob dies auch an den Rändern des Def.bereichs so
> ist, habe ich diese in die 1.Ableitung eingesetzt. Da die
> Ränder laut Aufgabenstellung NICHt zum Def.bereich
> gehören (merkt man auch, wenn man sie einsetzt, da
> [mm]tan'(\bruch{- \pi}{2})[/mm] = [mm]\bruch{1}{cos^2(\bruch{- \pi}{2})}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{0}[/mm] ja nicht definiert ist (da cos(x - [mm]\bruch{- \pi}{2})[/mm]
> ja sin(x) ist. wenn man da 0 einsetzt kommt ja sin(0)=0
> heraus. Entsprechend für [mm]cos(\bruch{\pi}{2})=[/mm] - sin(0) = 0
> => [mm]\bruch{1}{cos^2(\bruch{- \pi}{2})}[/mm] = [mm]\bruch{1}{0}[/mm] =
> n.d.!), habe ich jeweils versucht, den Limes zu berechnen:
> [mm]\limes_{t\rightarrow \bruch{- \pi}{2}} \bruch{1}{cos^2(t)}[/mm]
> = [mm]\bruch{1}{"0"}[/mm] => Grenzwert existiert nicht.
>
> Nun zur 2.Komponente der Kurve: y(t) = [mm]cos^2(t)[/mm] y'(t) =
> 2*(cos(t)*(-sin(t))) = -2*cos(t)*sin(t) = 0 [mm]\gdw t_1[/mm] = 0 ,
> [mm]t_2[/mm] = [mm]\bruch{- \pi}{2}, t_3[/mm] = [mm]{\pi}{2}.[/mm]
> 2.Ableitung: [mm]\bruch{\partial^2}{\partial*t^2} cos^2(t)[/mm] =
> [mm]\bruch{\partial}{\partial*t)}[/mm] -2*cos(t)*sin(t) =
> -2*(cos(t)*cos(t) + (-sin(t))*sin(t)) = [mm]-2*(cos^2(t)[/mm] -
> [mm]sin^2(t))[/mm]
> [mm]t_1[/mm] einsetzen: [mm]\bruch{\partial^2}{\partial*t^2} cos^2(0)[/mm] =
> [mm]-2*(1^2-0^2)[/mm] = -2 < 0 => Maximum bei t=0.
> [mm]t_2[/mm] : [mm]\bruch{\partial^2}{\partial*t^2} cos^2(\bruch{- \pi}{2})[/mm]
> = [mm]-2*(0^2-1^2)[/mm] = -2*(-1)=2 > 0 => Minimum bei [mm]t=\bruch{- \pi}{2}[/mm]
>
> [mm]t_3[/mm] : [mm]\bruch{\partial^2}{\partial*t^2} cos^2(\bruch{\pi}{2})[/mm]
> = [mm]-2*(0^2-1^2)[/mm] = -2*(-1)=2 > 0 => Minimum bei
> [mm]t=\bruch{\pi}{2}[/mm]
> => y(t) ist zwischen [mm]\bruch{- \pi}{2}[/mm] und 0 streng monoton
> steigend und zwischen 0 und [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] streng monoton
> fallend.
>
> Ist das so richtig?
Keine Ahnung,
allerdings gibt es Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen die du nutzen kannst.
Es gilt [mm] cos^2x=\bruch{1}{1+tan^2x}. [/mm] Damit kannst du den Umweg über die Parameterkurve weglassen und y direkt in Abhängigkeit von x angeben (aus x=tan t folgt y= [mm] \bruch{1}{1+x^2}).
[/mm]
Gruß Abakus
> lG
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