Monotonie und Konvergenz < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Geben Sie an, welche der folgenden Folgen monoton sind, konvergieren, divergieren, bzw. gegen unendlich divergieren. Welche sind beschränkt? Begründen Sie Ihre Behauptungen.
a) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (-1)^{n+1}
[/mm]
b) [mm] b_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n}{(-1)^{n^2}}
[/mm]
c) [mm] c_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^3 + 3n}{n^2 + 1}
[/mm]
d) [mm] d_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^3 + 3n}{n^4 + 4}
[/mm]
e) [mm] e_{n} [/mm] = [mm] \bruch{n^2 - 1}{n^2 + 1} [/mm] |
a) Beschränkt zwischen -1 und 1
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} a_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n+1} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
=> hat keinen Grenzwert => divergiert
Monotonie: keine.
Kann ich das bei der Aufgabe so hinschreiben? Also, muss ich noch irgendwas anderes beweisen?
b)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} b_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{(-1)^{n^2}} [/mm] = [mm] \infty
[/mm]
Nicht beschränkt, das der nenner immer zwischen -1 und 1 wechselt und n immer größer wird.
Keine Monotonie.
Kann ich das bei der Aufgabe so hinschreiben? Also, muss ich noch irgendwas anderes beweisen?
c)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} c_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3 + 3n}{n^2 + 1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3}{n^2 + 1} [/mm] + [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n}{n^2 + 1} [/mm] = [mm] \infty [/mm] + 0 = [mm] \infty
[/mm]
Beschränkt nach unten ( = 0)
Monoton steigend. Ich weiß aber hier nicht ganz genau wie ich das beweisen soll, ich habs erst mit Quotient versucht also [mm] \bruch{c_{n + 1}}{c_{n}}, [/mm] danach aber durch Differenz: [mm] c_{n + 1} [/mm] - [mm] c_{n}.
[/mm]
Am Schluss kam bei mir folgender Bruch raus: [mm] \bruch{n + 3n^2}{n^2 + 2n + 2}
[/mm]
Wie ich jetzt damit weiter machen soll weiß ich noch nicht.
d)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} d_{n} [/mm] = ( ... diesselbe Prozedur wie bei c ... ) = 0 + 0 = 0
Beschränkt nach unten: 0.
Mit der Monotonie hab ich es genauso wie bei c) gemacht. Durch Differenz kam folgender Bruch raus: (-1) * [mm] \bruch{4n^3 + 3n^2 + n}{n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 5}
[/mm]
e)
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} e_{n} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 - 1}{n^2 + 1} [/mm] = [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{n^2 + 1} [/mm] - [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^2 + 1} [/mm] = 1 - 0 = 1.
Monoton steigend, aber auch hier die Frage, wie ich das hier beweisen soll...
Beschränkt zwischen 1/2 und 1.
Ich hoffe die Aufgaben sind richtig.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:31 So 08.08.2010 | | Autor: | chrisno |
> a) Beschränkt zwischen -1 und 1
Begründung fehlt
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} a_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n+1}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
Chaos. Einmal schreibst Du einen falschen uneigentlichen Grenzwert [mm]\infty[/mm] hin, danach, dass es keinen gibt. Auch fehlt eine Begründung dafür, dass es keinen Grenzwert gibt.
>
> => hat keinen Grenzwert => divergiert
>
> Monotonie: keine.
Begründung fehlt
>
> b)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} b_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n}{(-1)^{n^2}}[/mm] = [mm]\infty[/mm]
>
> Nicht beschränkt, das der nenner immer zwischen -1 und 1
> wechselt und n immer größer wird.
Dies hat zur Folge dass ....
Der Teil fehlt noch bei der Begründung.
>
> Keine Monotonie.
Begründung fehlt
Da stehen noch ein paar Dinge mehr, die Du beantwoten sollst.
>
> c)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} c_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3 + 3n}{n^2 + 1}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^3}{n^2 + 1}[/mm] +
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{3n}{n^2 + 1}[/mm] = [mm]\infty[/mm] +
> 0 = [mm]\infty[/mm]
Wenn Du das so hinschreiben darfst. Dann habt ihr eine Reihe Sätze, die Du hier anwendest, ohne sie zu nennen.
>
> Beschränkt nach unten ( = 0)
Begründung fehlt
>
> Monoton steigend. Ich weiß aber hier nicht ganz genau wie
> ich das beweisen soll, ich habs erst mit Quotient versucht
> also [mm]\bruch{c_{n + 1}}{c_{n}},[/mm] danach aber durch Differenz:
> [mm]c_{n + 1}[/mm] - [mm]c_{n}.[/mm]
> Am Schluss kam bei mir folgender Bruch raus: [mm]\bruch{n + 3n^2}{n^2 + 2n + 2}[/mm]
>
Kannst Du etwas aussagen, ob dieser Bruch größer oder kleiner als Null ist? Dann weißt Du, ob ein Folgeglied immer größer oder kleiner ist, als sein Vorgänger.
>
> d)
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} d_{n}[/mm] = ( ... diesselbe
> Prozedur wie bei c ... ) = 0 + 0 = 0
>
s.o.
> Beschränkt nach unten: 0.
s.o.
>
> Mit der Monotonie hab ich es genauso wie bei c) gemacht.
> Durch Differenz kam folgender Bruch raus: (-1) *
> [mm]\bruch{4n^3 + 3n^2 + n}{n^4 + 4n^3 + 6n^2 + 4n + 5}[/mm]
s.o.
>
> e)
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} e_{n}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2 - 1}{n^2 + 1}[/mm] =
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{n^2}{n^2 + 1}[/mm] -
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} \bruch{1}{n^2 + 1}[/mm] = 1 - 0 =
> 1.
>
> Monoton steigend, aber auch hier die Frage, wie ich das
> hier beweisen soll...
schreib mal den Quotienten und die Differenz zweier aufeinander folgender Folgeglieder hin.
>
> Beschränkt zwischen 1/2 und 1.
? 1-1=0
>
|
|
|
| |
|
a) Würde denn als Begründung folgendes reichen? :
Diese Folge hat keine Monotonie und keinen Grenzwert weil die Folge zwischen -1 und 1 wechselt.
OK, das der Grenzwert falsch ist, hab nun auch gemerkt, aber was schreib ich stattdessen hin. Einfach
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n+1} [/mm] = hat keinen Grenzwert
?
b)
Dies hat zur Folge, dass der Betrag der Folgeglieder immer größer wird, sich das Vorzeichen aber beim nächsten Folgeglied nicht ändern => keine Monotonie.
Die Folge divergiert gegen unendlich.
c)
Begründung zur Beschränktheit:
[mm] c_{0} [/mm] = 0
Der Bruch [mm] \bruch{n + 3n^2}{n^2 + 2n + 2} [/mm] ist größer null, da n [mm] \in \IN_{0} [/mm] und durch einsetzen alle Werte positiv sind.
Wie kann ich es sonst hinschreiben als so? Oder meinst du die letzten beiden Umformungen, also das [mm] \infty [/mm] + 0 = [mm] \infty?
[/mm]
d)
[mm] d_{0} [/mm] = 0
[mm] d_{1} [/mm] = [mm] \bruch{4}{5}
[/mm]
Monton fallend, da egal was man für ein n [mm] \in \IN_{0} [/mm] einsetzt, das -1 vor dem Bruch macht die Zahl kleiner als 0.
e)
Ich hab sowohl die Differenz als auch den Quotienten gebildet. Bei der Differenz kam 0 raus (also [mm] e_{n + 1} [/mm] - e{n} = 0).
Beim dividieren, also [mm] \bruch{e_{n + 1}}{e_{n}} [/mm] = [mm] \bruch{n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n}{n^4 + 2n^3 + n^2 - 2n - 2}.
[/mm]
Dieser Bruch kann nur größer als 1 sein, weil Zähler und Nenner in den Faktoren von den drei größten Potenzen gleich sind, nur wird im Zähler noch etwas dazu addiert, im Nenner jedoch subtrahiert, was den Bruch größer als 1 macht => Folge ist monoton steigend.
Beschränkt zwischen 0 und 1.
Stimmt das alles so ?
|
|
|
| |
|
Hallo,
> a) Würde denn als Begründung folgendes reichen? :
>
> Diese Folge hat keine Monotonie und keinen Grenzwert weil
> die Folge zwischen -1 und 1 wechselt.
Naja. Du hast Recht, es ist irgendwie sehr klar dass die Folge nicht monoton ist und keinen Grenzwert besitzt. Du solltest dir aber im klaren sein, wie du das EXAKT nachweist.
Zur Monotonie: monoton bedeutet monoton fallend oder monoton wachsend. Wie ist das definiert?
Beispiel monoton fallend: Es muss [mm] \forall n\in\IN [/mm] gelten: [mm] $a_n \ge a_{n+1}$. [/mm] Das heißt bei deiner Folge, es müsste gelten: [mm] $(-1)^{n+1} \ge (-1)^{n+2}$ [/mm] für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Ist das der Fall?
> OK, das der Grenzwert falsch ist, hab nun auch gemerkt,
> aber was schreib ich stattdessen hin. Einfach
>
> [mm]\limes_{n\rightarrow\infty} (-1)^{n+1}[/mm] = hat keinen
> Grenzwert
Nein, du schreibst nur:
Begründung (...), also hat diese Folge keinen Grenzwert.
Du schreibst also gar nichts mit Limes hin.
Nun ist noch die Frage nach der Begründung. Kannst du mal stichhaltig mit euren Definitionen begründen, warum diese Folge nicht konvergent ist (Häufungspunkte vielleicht ein guter Ansatz).
>
> b)
>
> Dies hat zur Folge, dass der Betrag der Folgeglieder immer
> größer wird, sich das Vorzeichen aber beim nächsten
> Folgeglied nicht ändern => keine Monotonie.
Die Begründung ist leider nicht brauchbar für die Monotonie. Mit "sich das Vorzeichen aber beim nächsten
Folgeglied nicht ändern" kann ich nichts anfangen. Siehe a) zur genauen Begründung.
Was aber schonmal gut war in der obigen Begründung war der Satz "Dies hat zur Folge, dass der Betrag der Folgeglieder immer größer wird". Es gilt:
Folge konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] Folge beschränkt.
Hattet ihr das schon? Dann mache jetzt einen kurzen Widerspruchsbeweis: Angenommen, die Folge wäre konvergent. Dann wäre die Folge also auch beschränkt, d.h. es müsste ein [mm] K\in\IN [/mm] geben so dass für alle [mm] n\in\IN [/mm] gilt: [mm] $|a_{n}| < [/mm] K$, d.h. |n| < K. Das aber ist ein Widerspruch, denn wir können einfach n = K+1 wählen.
> Die Folge divergiert gegen unendlich.
Falsch. Die Folge divergiert. Die Folge divergiert aber nicht gegen unendlich.
> c)
>
> Begründung zur Beschränktheit:
> [mm]c_{0}[/mm] = 0
>
> Der Bruch [mm]\bruch{n + 3n^2}{n^2 + 2n + 2}[/mm] ist größer null,
> da n [mm]\in \IN_{0}[/mm] und durch einsetzen alle Werte positiv
> sind.
Ich komme auf ein anderes Ergebnis, nämlich
[mm] $c_{n+1}-c_{n} [/mm] = [mm] \frac{n^{4}+2n^{3}+n^{2}+4}{(n^{2}+1)*((n+1)^{2}+1)}$.
[/mm]
Was lässt sich nun sagen? (Zur Begründung betrachte Zähler und Nenner getrennt).
> Wie kann ich es sonst hinschreiben als so? Oder meinst du
> die letzten beiden Umformungen, also das [mm]\infty[/mm] + 0 =
> [mm]\infty?[/mm]
Du beweist einfach wieder, dass die Folge nicht beschränkt ist. Daraus folgt (siehe b)), dass die Folge nicht konvergiert. Mache das folgendermaßen: Angenommen, die Folge wäre beschränkt, dann gäbe es [mm] K\in\IN [/mm] so, dass [mm] |c_{n}| [/mm] < K für alle [mm] n\in\IN. [/mm] Es ist dann für [mm] n\in\IN:
[/mm]
$K > [mm] |c_{n}| [/mm] = [mm] \left|\frac{n^{3}+3n}{n^{2}+1}\right| [/mm] = [mm] \frac{n^{3}+3n}{n^{2}+1} [/mm] > [mm] \frac{n^{3}}{n^{2}+1} [/mm] > [mm] \frac{n^{3}}{n^{2}+n^{2}} [/mm] = [mm] \frac{n}{2}.$
[/mm]
Indem wir $n = 2*(K+1)$ setzen, erhalten wir einen Widerspruch. Die Abschätzungen oben gelten im Falle n > 0. Falls du n [mm] \ge [/mm] 0 betrachten sollst, musst du dir für die zweite Abschätzung noch etwas einfallen lassen.
Grüße,
Stefan
|
|
|
| |
|
Hallo,
> d)
>
> [mm]d_{0}[/mm] = 0
>
> [mm]d_{1}[/mm] = [mm]\bruch{4}{5}[/mm]
>
> Monton fallend, da egal was man für ein n [mm]\in \IN_{0}[/mm]
> einsetzt, das -1 vor dem Bruch macht die Zahl kleiner als
> 0.
Von welchem Bruch genau sprichst du?
Monoton fallend stimmt nicht ganz, die Folge ist erst ab n = 2 monoton fallend.
> e)
>
> Ich hab sowohl die Differenz als auch den Quotienten
> gebildet. Bei der Differenz kam 0 raus (also [mm]e_{n + 1}[/mm] -
> e{n} = 0).
> Beim dividieren, also [mm]\bruch{e_{n + 1}}{e_{n}}[/mm] =
> [mm]\bruch{n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n}{n^4 + 2n^3 + n^2 - 2n - 2}.[/mm]
>
> Dieser Bruch kann nur größer als 1 sein, weil Zähler und
> Nenner in den Faktoren von den drei größten Potenzen
> gleich sind, nur wird im Zähler noch etwas dazu addiert,
> im Nenner jedoch subtrahiert, was den Bruch größer als 1
> macht => Folge ist monoton steigend.
Das klingt gut!
Wenn du weniger schreiben willst, kannst du auch alternativ zeigen:
|Bruch| > 1 [mm] \gdw [/mm] |Zähler| > |Nenner| [mm] \gdw [/mm] 2n > -2n -2,
was offenbar für n [mm] \ge [/mm] 0 richtig ist.
> Beschränkt zwischen 0 und 1.
Das stimmt, falls n > 0 ist. Im Falle [mm] n\ge [/mm] 0 haben wir beschränkt zwischen -1 und 1.
Beide Schranken sind aber noch zu begründen (Beweis!)
Grüße,
Stefan
|
|
|
|
