Monotonie und Beschränktheit < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:34 So 16.05.2010 | | Autor: | Olga1234 |
| Aufgabe | Untersuchen Sie die Folgen [mm] a_{n} [/mm] auf Monotonie und Beschränkheit:
1) [mm] a_{0} [/mm] = 1, [mm] a_{n+1} [/mm] = -2 [mm] a_{n}
[/mm]
2) [mm] a_{n} [/mm] = [mm] (\bruch{\pi}{2n})^{2}, [/mm] n [mm] \ge [/mm] 1 |
zu 1.)
Monotonie: die folge ist alternierend. wie beweis ich das?
soll ich zeigen, dass weder [mm] a_{n+1} [/mm] > [mm] a_{n} [/mm] und [mm] a_{n+1} [/mm] < [mm] a_{n}
[/mm]
gelten?
beschränktheit:
meiner meinung nach ist die folge auch nicht beschränkt, da [mm] |a_{n}| [/mm] auch nicht beschränkt ist. kann man das so sagen?
zu 2.)
Monotonie ist klar.
aber wie beweise ich die beschränktheit?
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Moin,
> Untersuchen Sie die Folgen [mm]a_{n}[/mm] auf Monotonie und
> Beschränkheit:
> 1) [mm]a_{0}[/mm] = 1, [mm]a_{n+1}[/mm] = -2 [mm]a_{n}[/mm]
> 2) [mm]a_{n}[/mm] = [mm](\bruch{\pi}{2n})^{2},[/mm] n [mm]\ge[/mm] 1
> zu 1.)
>
> Monotonie: die folge ist alternierend. wie beweis ich das?
> soll ich zeigen, dass weder [mm]a_{n+1}[/mm] > [mm]a_{n}[/mm] und [mm]a_{n+1}[/mm] <
> [mm]a_{n}[/mm]
> gelten?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Alternativ: Zeigen, dass es mehr als einen Häufungspunkt gibt. Ich weiss aber nicht, ob das hier so einfach ist.
>
> beschränktheit:
> meiner meinung nach ist die folge auch nicht beschränkt,
> da [mm]|a_{n}|[/mm] auch nicht beschränkt ist. kann man das so
> sagen?
Ich weiss nicht, ob das nicht ein wenig zu kurz gegriffen ist. Ich würde es folgendermaßen versuchen (es gibt sicher weitaus schönere, kürzere Möglichkeiten):
Zeige, dass für alle $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ gilt: $\ [mm] |a_n| [/mm] > | [mm] a_{n-1} [/mm] | $
Dann führe die Annahme, es gäbe ein $\ M [mm] \in \IN [/mm] $, so dass für alle $\ n [mm] \in \IN [/mm] $ gilt: $\ [mm] |a_n| [/mm] < M $ zum Widerspruch.
>
> zu 2.)
> Monotonie ist klar.
> aber wie beweise ich die beschränktheit?
Jede konvergente Folge reeller Zahlen ist beschränkt. Du musst quasi nur den Grenzwert berechnen. Daraus folgt Beschränktheit.
Ich lass das Ganze mal auf teilw. Beantwortet.
Grüße
ChopSuey
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:11 So 16.05.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Olga!
Berechne dir mal die ersten 2,3,4 ... Glieder der Folge. Damit solltest Du dann schon einen Verdacht bezüglich der Schranken haben.
Diese dann allgemein z.B. mittels [mm] $\underline{S} [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_n$ [/mm] bzw. [mm] $a_n \le [/mm] \ [mm] \overline{S}$ [/mm] nachweisen.
Gruß
Loddar
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