Monotonie mittels bernoulli < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:21 So 07.12.2008 | | Autor: | Azarazul |
Eingabefehler: "\left" und "\right" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
| Aufgabe | Zeigen Sie unter Verwendung der Bernoulli'schen Ungleichung für $n \ge 2 $, dass
$$ \left( 1+ \bruch{1}{n} \right )^{n} \le \left( 1+ \bruch{1}{n+1} \right)^{n+1} $$ |
Also ich bin soweit - auch unter Verwendung von Bernoulli's Ungleichung gekommen.
$$ 1 \le \bruch{1+\bruch{n}{n} }{ \left ( 1+ \bruch{1}{n+1}^n \right )} \le \left(\bruch{1+\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n+1}} \right)^n \le \bruch{ \left (1+\bruch{1}{n}\right )^n }{1+\bruch{n}{n+1}} \le 1+ \bruch{1}{n+1} $$
Im prinzip soll hier die Monotonie der "e-Folge" mittels Bernoulli gezeigt werden. Ich sehe einfach nur gerade den schritt nicht, denn ich brauche. Und wenn ich versuche mittels bernoulli abschätzungen "dazwischen" zu quetschen, um es benutzt zu haben und weiter arbeiten zu können, zeigt sich, dass die aussage dann falsch, d.h. zu stark abgeschätzt wurde.
Warum hier in der aufgabe (steht da!) "kleiner gleich" steht, ist mir übrigens auch schleierhaft ;) .
|
|
| |
|
Hallo James,
> Zeigen Sie unter Verwendung der Bernoulli'schen Ungleichung
> für [mm]n \ge 2 [/mm], dass
> [mm]\left( 1+ \bruch{1}{n} \right )^{n} \le \left( 1+ \bruch{1}{n+1} \right)^{n+1}[/mm]
> Also ich bin soweit - auch unter Verwendung von Bernoulli's
> Ungleichung gekommen.
>
> [mm]1 \le \bruch{1+\bruch{n}{n} }{ \left ( 1+ \bruch{1}{n+1}^n \right )} \le \left(\bruch{1+\bruch{1}{n}}{1+\bruch{1}{n+1}} \right)^n \le \bruch{ \left (1+\bruch{1}{n}\right )^n }{1+\bruch{n}{n+1}} \le 1+ \bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> Im prinzip soll hier die Monotonie der "e-Folge" mittels
> Bernoulli gezeigt werden.
Ja, äquivalent zu der Ungleichung oben ist ja zu zeigen [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ mit [mm] $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^n$
[/mm]
Vllt. schaust du mal hier vorbei, da wurde dieselbe Frage vor kurzem schon ausführlich besprochen, das erspart das erneute Eintippen 
> Ich sehe einfach nur gerade den
> schritt nicht, denn ich brauche. Und wenn ich versuche
> mittels bernoulli abschätzungen "dazwischen" zu quetschen,
> um es benutzt zu haben und weiter arbeiten zu können, zeigt
> sich, dass die aussage dann falsch, d.h. zu stark
> abgeschätzt wurde.
> Warum hier in der aufgabe (steht da!) "kleiner gleich"
> steht, ist mir übrigens auch schleierhaft ;) .
Naja, monoton steigend heißt doch [mm] $a_n [/mm] \ [mm] \le [/mm] \ [mm] a_{n+1}$ [/mm] bzw. [mm] $\frac{a_{n+1}}{a_n} [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$
(Streng monoton dann entsprechend mit der echten Ungleichung)
LG
schachuzipus
|
|
|
|
