Monotonie einer Funktion < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:29 Mi 31.10.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | f(x) = [mm] $\bruch{1}{3}x³-2x²+3x+4$ [/mm] für x [mm] $\subset$ [/mm] IR
Wo ist f monoton wachsend oder fallend? |
Hallo Zusammen,
dazu braucht man die erste Ableitung und dann muss man die Ableitung größer/gleich oder kleiner/gleich Null setzen um zu sehen wo steigend oder fallend.
f'(x) = x²-4x+3 = x²-4x+4-1 = (x-2)²-1
f'(x) [mm] $\ge$ [/mm] 0 <=> (x-2)² [mm] $\ge$ [/mm] 1
nun muss ich dies noch vereinfachen um auf den x-Wert zu gelangen:
(x-2)² [mm] $\ge$ [/mm] 1
x-2 [mm] $\ge$ [/mm] 1 'kann ich dies einfach wegfallen lassen?' oder -(x-2)x [mm] $\ge$ [/mm] 1 'wie kommt man darauf?
liegt dies an der Ungleichung, weil man immer zwei Fälle braucht? Bitte um Erklärung.
x [mm] $\ge$ [/mm] 3 oder x [mm] $\le$ [/mm] 1 'das vorzeichen kehrt sich wegen *(-1) ja um
also ist die Funktion ab x [mm] $\ge$ [/mm] 3 und x [mm] $\le$ [/mm] 1 monoton steigend, in diesem Fall sogar streng monoton steigend. Und von 1 [mm] $\le$ [/mm] x [mm] $\le$ [/mm] 3 streng monoton fallend. Wie auch der Graph zeigt (blau=f(x), rot=f'(x)):
[Dateianhang nicht öffentlich]
Vielen Dank im Voraus.
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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Hallo itse,
> f(x) = [mm]\bruch{1}{3}x³-2x²+3x+4[/mm] für x [mm]\subset[/mm] IR
>
> Wo ist f monoton wachsend oder fallend?
> Hallo Zusammen,
>
> dazu braucht man die erste Ableitung und dann muss man die
> Ableitung größer/gleich oder kleiner/gleich Null setzen um
> zu sehen wo steigend oder fallend.
>
> f'(x) = x²-4x+3 = x²-4x+4-1 = (x-2)²-1
>
> f'(x) [mm]\ge[/mm] 0 <=> (x-2)² [mm]\ge[/mm] 1
Schreibe besser [mm] $f'(x)=x^2-4x+3=(x-3)(x-1)$
[/mm]
Das kannst du "besser" untersuchen bei der Fallunterscheidung
Nun schaue, wann
(I) [mm] $(x-3)(x-1)\ge [/mm] 0$
(II) [mm] $(x-3)(x-1)\le [/mm] 0$ ist
zu (I): ein Produkt ist [mm] \ge [/mm] 0, wenn beide Faktoren [mm] \ge [/mm] 0 oder beide Faktoren [mm] \le [/mm] 0 sind
also [mm] $(x-3)(x-1)\ge 0\gdw \left[x-3\ge 0\,\wedge x-1\ge 0\right]\,\vee\,\left[x-3\le 0\,\wedge x-1\le 0\right]$
[/mm]
Das drösel mal auf, dann erhältst du das Intervall für monotones Wachstum
für das monotone Fallen, also (II) untersuche die Fälle ganz ähnlich.
Ein Produkt ist [mm] \le [/mm] 0, wenn ....
> nun muss ich dies noch vereinfachen um auf den x-Wert zu
> gelangen:
>
> (x-2)² [mm]\ge[/mm] 1
>
> x-2 [mm] \ge [/mm] 1 ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]") 'kann ich dies einfach wegfallen lassen?' oder
> -(x-2)x [mm]\ge[/mm] 1 'wie kommt man darauf?
Es ist [mm] $\sqrt{(x-2)^2}=|x-2|$
[/mm]
Wenn du das benutzt, klappt die FU auch und du kommst auf dasselbe Intervall wie beim oben beschriebenen Verfahren...
> liegt dies an der Ungleichung, weil man immer zwei Fälle
> braucht? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Bitte um Erklärung.
Jo, sobald du die mit irgendeinem Faktor multiplizierst, musst du sehen, ob und in welchem Fall sich das Ungleichheitszeichen evtl. umdreht...
Bei deiner Variante liegt es konkret daran, dass du, wenn du die Wurzel aus dem [mm] $(x-2)^2$ [/mm] ziehst, einen Betrag erhältst $=|x-2|$.
Und der ist ja in Abhängigkeit von x zu untersuchen...
> x [mm]\ge[/mm] 3 oder x [mm]\le[/mm] 1 'das vorzeichen kehrt sich wegen *(-1)
> ja um
>
>
> also ist die Funktion ab x [mm]\ge[/mm] 3 und x [mm]\le[/mm] 1 monoton
> steigend, in diesem Fall sogar streng monoton steigend. Und
> von 1 [mm]\le[/mm] x [mm]\le[/mm] 3 streng monoton fallend. Wie auch der
> Graph zeigt (blau=f(x), rot=f'(x)):
>
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
>
> Vielen Dank im Voraus.
>
Versuche mal die oben erwähnte Fallunterscheidung...
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:01 Fr 02.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> Schreibe besser [mm]f'(x)=x^2-4x+3=(x-3)(x-1)[/mm]
>
> Das kannst du "besser" untersuchen bei der
> Fallunterscheidung
>
> Nun schaue, wann
>
> (I) [mm](x-3)(x-1)\ge 0[/mm]
>
> (II) [mm](x-3)(x-1)\le 0[/mm] ist
>
> zu (I): ein Produkt ist [mm]\ge[/mm] 0, wenn beide Faktoren [mm]\ge[/mm] 0
> oder beide Faktoren [mm]\le[/mm] 0 sind
>
> also [mm](x-3)(x-1)\ge 0\gdw \left[x-3\ge 0\,\wedge x-1\ge 0\right]\,\vee\,\left[x-3\le 0\,\wedge x-1\le 0\right][/mm]
>
> Das drösel mal auf, dann erhältst du das Intervall für
> monotones Wachstum
[mm] $f'(x)=x^2-4x+3=(x-3)(x-1)$
[/mm]
für f'(x) [mm] $\ge$ [/mm] 0 (steigend)
x-3 [mm] $\ge$ [/mm] 0
x [mm] $\ge$ [/mm] 3
x-1 [mm] $\ge$ [/mm] 0
x [mm] $\ge$ [/mm] 1
für f'(x) [mm] $\le$ [/mm] 0 (fallend)
x-3 [mm] $\le$ [/mm] 0
x [mm] $\le$ [/mm] 3
x-1 [mm] $\le$ [/mm] 0
x [mm] $\le$ [/mm] 1
wie komme ich nun auf das Intervall, wo die Funktion steigt oder fällt?
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Hi, itse,
> [mm]f'(x)=x^2-4x+3=(x-3)(x-1)[/mm]
> für f'(x) [mm]\ge[/mm] 0 (steigend)
>
> x-3 [mm]\ge[/mm] 0
> x [mm]\ge[/mm] 3
>
> x-1 [mm]\ge[/mm] 0
> x [mm]\ge[/mm] 1
Das ist der 1.Fall für "monoton steigend", denn (Faustregel) "+ * + = +"
> für f'(x) [mm]\le[/mm] 0 (fallend)
>
> x-3 [mm]\le[/mm] 0
> x [mm]\le[/mm] 3
>
> x-1 [mm]\le[/mm] 0
> x [mm]\le[/mm] 1
Das ist falsch, denn wenn - wie Du annimmst - beide Klammern negativ sind, so ist ihr Produkt doch wieder positiv! Faustregel: "- * - = +"
Was Du hier vorliegen hast, ist der 2. Fall für "monoton steigend"!
Mal etwas übersichtlicher:
1. Fall: (x-3) [mm] \ge [/mm] 0 [mm] \quad \wedge [/mm] (x-1) [mm] \ge [/mm] 0
<=> x [mm] \ge [/mm] 3 [mm] \quad \wedge [/mm] x [mm] \ge [/mm] 1
Beide Ungleichungen müssen ZUGLEICH erfüllt sein; daher: x [mm] \ge [/mm] 3.
2. Fall: (x-3) [mm] \le [/mm] 0 [mm] \quad \wedge [/mm] (x-1) [mm] \le [/mm] 0
<=> x [mm] \le [/mm] 3 [mm] \quad \wedge [/mm] x [mm] \le [/mm] 1
Beide Ungleichungen müssen ZUGLEICH erfüllt sein; daher: x [mm] \le [/mm] 1.
Somit ergibt sich:
Der Graph der Funktion f ist (echt) monoton steigend im Intervall [3 ; [mm] \infty[
[/mm]
sowie im Intervall [mm] ]-\infty [/mm] ; 1 ].
Für "monoton fallend" gehst Du analog vor, wobei logischerweise einfach
das Intervall [ 1 ; 3 ] rauskommen muss.
mfG!
Zwerglein
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 09:30 Fr 02.11.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | In welchen Intervallen ist die Funktion f monoton steigend oder fallend?
a) f(x) = [mm] 4+3x-x²-$\bruch{1}{3}$x² [/mm] für x [mm] $\subset$ [/mm] IR
b) f(x) = [mm] $\bruch{x}{1-x²}$ [/mm] für x [mm] $\subset$ [/mm] IR, x² [mm] $\not=$ [/mm] 1 |
Hallo Zusammen,
die Ableitungen:
a) f'(x) = 3-2x-x² (-x²-2x+3)
nun muss ich überprüfen wo f'(x) [mm] $\ge$ [/mm] 0 und wo f'(x) [mm] $\le$ [/mm] 0, dazu bringe ich die Ableitung in diese Form:
(x+c)(x+d) [mm] $\ge$ [/mm] oder [mm] $\le$ [/mm] 'je nachdem ob steigend oder fallend
1: c+d = -2
2: c [mm] $\cdot{}$ [/mm] d = 3
nun muss man daraus, c und d bestimmen
1 nach d auflösen: d = -2-c in 2:
c(-2-c)=3
-2c-c²=3 |-3 *(-1)
c²+2c+3=0
dies kann man mit der p/q-Formel berechnen:
p=2
q=3
[mm] c_1,2 [/mm] = -1 +/- [mm] $\wurzel{-2}$
[/mm]
wurzel aus -2 geht nicht, wie komme ich denn dann auf c und d?
b) f'(x) = [mm] $\bruch{1+x²}{(1-x²)²}$
[/mm]
nun wieder
f'(x) [mm] $\ge$ [/mm] 0 -> [mm] $\bruch{1+x²}{(1-x²)²} \ge [/mm] 0$
f'(x) [mm] $\le$ [/mm] 0 -> [mm] $\bruch{1+x²}{(1-x²)²} \le [/mm] 0$
wie kann ich dies auflösen, um die Intervalle zu bestimmen? Vielen Dank.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:27 Fr 02.11.2007 | | Autor: | itse |
zu a) man kann zuerst auch die lokalen Extrempunkte berechnen.
f'(x) = 0 -> -x²-2x+3 = 0 | *(-1)
x²+2x-3 = 0
[mm] $x_1,2 [/mm] = -1 +/- 2$
[mm] $x_1 [/mm] = 1$
[mm] $x_2 [/mm] = -3$
Untersuchung:
links von -3
zwischen -3 und 1
rechts von 1
x=-4, f'(x)=-11
x=0, f'(x)= 3
x=2, f'(x)=-5
daraus folgt:
f(x) für -3 < x < 1 monoton steigend
f(x) für x [mm] $\le$ [/mm] -3 und x [mm] $\ge$ [/mm] 1 monoton fallend
zu b)
f'(x)=0 -> $ [mm] \bruch{1+x²}{(1-x²)²} [/mm] = 0$
1+x² = (1-x²)(1-x²)
1+x² = [mm] 1-x²-x²+$x^4$ [/mm] |-1 -x²$
[mm] $x^4$-3x²=0
[/mm]
[mm] $x_1,2 [/mm] = 1,5 +/- 1,5$
[mm] $x_1 [/mm] = 3$
[mm] $x_2 [/mm] = 0$
Untersuchung:
links von 0
zwischen 0 und 3
rechts von 3
x=-2, f'(x)= [mm] $\bruch{5}{9}$
[/mm]
x=1,5, f'(x)= [mm] $\bruch{3,25}{1,5625}$
[/mm]
x=4, f'(x)= [mm] $\bruch{17}{225}$
[/mm]
daraus folgt:
f(x) für x [mm] $\le$ [/mm] 0, 0 < x < 3 und x [mm] $\ge$ [/mm] 3 monoton wachsend.
Passen die Ergebnisse so und vor allem kann man dies so rechnen?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Fr 02.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo itse
> In welchen Intervallen ist die Funktion f monoton steigend
> oder fallend?
>
> a) f(x) = 4+3x-x²-[mm]\bruch{1}{3}[/mm]x² für x [mm]\subset[/mm] IR
>
> b) f(x) = [mm]\bruch{x}{1-x²}[/mm] für x [mm]\subset[/mm] IR, x² [mm]\not=[/mm] 1
> Hallo Zusammen,
>
> die Ableitungen:
>
> a) f'(x) = 3-2x-x² (-x²-2x+3)
>
> nun muss ich überprüfen wo f'(x) [mm]\ge[/mm] 0 und wo f'(x) [mm]\le[/mm] 0,
> dazu bringe ich die Ableitung in diese Form:
>
> (x+c)(x+d) [mm]\ge[/mm] oder [mm]\le[/mm] 'je nachdem ob steigend oder
> fallend
>
> 1: c+d = -2
> 2: c [mm]\cdot{}[/mm] d = 3
>
> nun muss man daraus, c und d bestimmen
>
> 1 nach d auflösen: d = -2-c in 2:
>
> c(-2-c)=3
> -2c-c²=3 |-3 *(-1)
> c²+2c+3=0
Da liegt dein Fehler
[mm] c^2+2c-3=0 [/mm] ist richtig.
Das mit dem c+d und c*d ist richtig, aber wenn man daraus die Lösung nicht "sehen" kann hier -3 und 1 musst du für c oder d wieder dieselbe quadratische Gleichung lösen, die du für x schon hast.
Also entweder man rät oder sieht ne ganzzahlige Lösung, oder man bestimmt besser die Nullstellen der fkt, direkt mit pq-Formel.
also [mm] x^2+2x-3=0 [/mm] daraus x1=1,x2=-3
und du hast [mm] x^2-2x-3=(x-1)*(x+3)
[/mm]
> dies kann man mit der p/q-Formel berechnen:
>
> p=2
> q=3
>
> [mm]c_1,2[/mm] = -1 +/- [mm]\wurzel{-2}[/mm]
>
> wurzel aus -2 geht nicht, wie komme ich denn dann auf c und
> d?
>
>
> b) f'(x) = [mm]\bruch{1+x²}{(1-x²)²}[/mm]
>
> nun wieder
>
> f'(x) [mm]\ge[/mm] 0 -> [mm]\bruch{1+x²}{(1-x²)²} \ge 0[/mm]
>
> f'(x) [mm]\le[/mm] 0 -> [mm]\bruch{1+x²}{(1-x²)²} \le 0[/mm]
>
> wie kann ich dies auflösen, um die Intervalle zu bestimmen?
Du hast es in deinen Mitteilungen nicht falsch gemacht, aber zu Umständlich
Der Nenner ist ein Quadrat, also immer positiv oder 0. also kommts nur auf den Zähler an! da [mm] 1+x^2 [/mm] auch immer positiv ist, ist die fkt überall wo sie definiert ist (also ausser bei x=1) streng mon. steigend.
Bemerkung: wenn du mit der Quotientenregel Brüche ableitest ist im Nenner immer ein Quadrat, also ist der immer pos. (oder0) also musst du bei gebrochenen Funktionen für die Monotonie immer nur den Zähler der Ableitung ansehen!
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:38 Fr 02.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo leduart,
> Hallo itse
> > In welchen Intervallen ist die Funktion f monoton
> steigend
> > oder fallend?
> >
> > a) f(x) = 4+3x-x²-[mm]\bruch{1}{3}[/mm]x² für x [mm]\subset[/mm] IR
> >
> > b) f(x) = [mm]\bruch{x}{1-x²}[/mm] für x [mm]\subset[/mm] IR, x² [mm]\not=[/mm] 1
> > Hallo Zusammen,
> >
> > die Ableitungen:
> >
> > a) f'(x) = 3-2x-x² (-x²-2x+3)
> >
> > nun muss ich überprüfen wo f'(x) [mm]\ge[/mm] 0 und wo f'(x) [mm]\le[/mm] 0,
> > dazu bringe ich die Ableitung in diese Form:
> >
> > (x+c)(x+d) [mm]\ge[/mm] oder [mm]\le[/mm] 'je nachdem ob steigend oder
> > fallend
> >
> > 1: c+d = -2
> > 2: c [mm]\cdot{}[/mm] d = 3
> >
> > nun muss man daraus, c und d bestimmen
> >
> > 1 nach d auflösen: d = -2-c in 2:
> >
> > c(-2-c)=3
> > -2c-c²=3 |-3 *(-1)
> > c²+2c+3=0
>
> Da liegt dein Fehler
> [mm]c^2+2c-3=0[/mm] ist richtig.
> Das mit dem c+d und c*d ist richtig, aber wenn man daraus
> die Lösung nicht "sehen" kann hier -3 und 1 musst du für c
> oder d wieder dieselbe quadratische Gleichung lösen, die du
> für x schon hast.
> Also entweder man rät oder sieht ne ganzzahlige Lösung,
> oder man bestimmt besser die Nullstellen der fkt, direkt
> mit pq-Formel.
> also [mm]x^2+2x-3=0[/mm] daraus x1=1,x2=-3
> und du hast [mm]x^2-2x-3=(x-1)*(x+3)[/mm]
gut also,
f'(x) [mm] $\ge$ [/mm] 0; steigt
1.Fall: (x+1) [mm] $\ge$ [/mm] 0 [mm] $\quad \wedge$ [/mm] (x-3) [mm] $\ge$ [/mm] 0
<=> x [mm] $\ge$ [/mm] -1 [mm] $\quad \wedge$ [/mm] x [mm] $\ge$ [/mm] 3
also: x [mm] $\ge$ [/mm] 3
2.Fall:( x+1) [mm] $\le$ [/mm] 0 [mm] $\quad \wedge$ [/mm] (x-3) [mm] $\le$ [/mm] 0
<=> x [mm] $\le$ [/mm] -1 [mm] $\quad \wedge$ [/mm] x [mm] $\le$ [/mm] 3
also: x [mm] $\le$ [/mm] -1
f'(x) [mm] $\le$ [/mm] 0; fällt
1.Fall: (x+1) [mm] $\ge$ [/mm] 0 [mm] $\quad \wedge$ [/mm] (x-3) [mm] $\le$ [/mm] 0
<=> x [mm] $\ge$ [/mm] -1 [mm] $\quad \wedge$ [/mm] x [mm] $\le$ [/mm] 3
also: eine Zahl die [mm] $\ge$ [/mm] -1 und [mm] $\le$ [/mm] 3, zum Beispiel 0,1,2
2.Fall:( x+1) [mm] $\le$ [/mm] 0 [mm] $\quad \wedge$ [/mm] (x-3) [mm] $\ge$ [/mm] 0
<=> x [mm] $\le$ [/mm] -1 [mm] $\quad \wedge$ [/mm] x [mm] $\ge$ [/mm] 3
geht nicht, es gibt keine Zahl die [mm] $\le$ [/mm] -1 und [mm] $\ge$ [/mm] 3
Wo liegt hier der Fehler? So stimmt es mit der Lösung doch nicht überein? Vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:53 Fr 02.11.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
wir hatten [mm] x^2+2x-3=(x-1)*(x+3)
[/mm]
aber f'(x) war [mm] f'(x)=-(x^2+2x-3)=-(x-1)*(x+3)
[/mm]
und da [mm] -(x-1)\ne [/mm] x+1 ist hast dus falsch gemacht.
also f'(x)<0 falls (x-1)*(x+3)>0
also x>1 und x>-3 oder x<1 und x<-3
zusammen also für x>1 und für x<-3
entsprechenf f'(x)>0 noch machen.
allerdings kannst du auch einfach sagen, wo sie nicht fällt steigt sie also für [mm] -3\le [/mm] x [mm] \le [/mm] 1 steigend.
sonst hättest du auch schreiben können :
[mm] f'(x)=-(x^2+2x-3)=-(x-1)*(x+3)=(1-x)*(x+3)
[/mm]
und das diskutiern wie gewohnt.
Gruss leduart
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