Monotonie & Stetigkeit zeigen < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:11 Mi 21.01.2009 | | Autor: | Lucy234 |
| Aufgabe | Gegeben sei die Funktion [mm] f : \IR \to \IR [/mm] mit [mm] f(x) := [x] + \wurzel{x - [x]} [/mm].
a) Zeigen Sie, dass f streng monoton wachsend und stetig ist.
b) Skizzieren Sie den Graphen von f.
c) Bestimmen Sie die Umkehrfunktion von f. |
Hallo,
ich schaffe es nicht zu zeigen, dass f streng monoton wachsend und stetig ist. Ableiten kann ich hier schon mal nicht. Also hab ich versucht zu zeigen [mm] x_{1} < x_{2} \Rightarrow f(x_{1}) < f(x_{2}) [/mm], bzw. [mm] [mm] f(x_{1}) [/mm] < [mm] f(x_{2}) \gdw x_{1} [/mm] < [mm] x_{2}. [/mm] Hab dann eingesetzt und abgeschätzt. Die Wurzel ist doch [mm] \le1 [/mm], oder? Aber ich komme dann zum Schluss nicht auf [mm] x_{1} < x_{2} [/mm]. Ist mein Ansatz schon falsch? Oder soll ich mal meine genauen Schritte hinschreiben?
Grüße, Lucy
|
|
| |
|
Hallo Lucy,
ich nehme an, [mm] \a{}[x] [/mm] ergibt eine ganze Zahl, die Klammern sind also Gaußklammern? Dann genauer: für [mm] x\in\IR [/mm] ist [mm] [x]\in\IZ [/mm] mit [mm] [x]\le \a{}x<[x]+1.
[/mm]
Schau Dir erst einmal die Punkte an, an denen x ganzzahlig ist.
Dann überleg Dir, wie die Funktion zwischen 0 und 1 aussieht (also [mm] 0\le x\le1).
[/mm]
Wie sieht sie dann zwischen 1 und 2 aus?
Und wenn Du das alles hast, dann überleg Dir auch noch, wie sie zwischen -121 und -120 verläuft.
Du siehst richtig, dass die Wurzel Werte von 0 bis 1 annimmt, genauer aus dem Intervall [0,1). Warum halboffen?
Jetzt weise die Stetigkeit für [mm] x\in \IZ [/mm] nach. Dann die Stetigkeit für [mm] x\in\IR \setminus\IZ.
[/mm]
Vielleicht erst einmal bis dahin. Wahrscheinlich fällt die Monotonie da schon nebenbei ab.
Die Umkehrfunktion erfordert dann ein bisschen neue Überlegung.
Na los, Du schaffst das.
Liebe Grüße,
reverend
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:05 Do 22.01.2009 | | Autor: | Lucy234 |
Vielen Dank reverend! Jetzt hab ich es hingekriegt.
Grüße, Lucy
|
|
|
|
