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| Aufgabe | Betrachten Sie die Funktion f (x) = [mm] x^y e^x [/mm] mit y ∈ N gerade, auf ihrem Definitionsbereich R.
Untersuchen Sie, wann die Funktion streng monoton fallend bzw. streng monoton wachsend ist.
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Hallo,
Ich weiss, dass die Funktion nur für x=0 den Wert 0 annimmt.
Also kann ich sagen, dass sie immer dann größer als 0 ist, wenn x nicht 0 ist.
Als nächstes suche ich nach möglichen Extremstellen, und kann sehen, dass f'(x)=0 für entweder x=0 oder x=-y ist.
Da ich für x=0 auch weiss, dass f(x) immer dann größer als 0 wird wenn x ungleich 0 ist, folgt darauf, dass x=0 ein Minimum ist.
Nun lasse ich den Funktionswert gegen plus und minus Unendlich laufen und finde herraus, dass die Funktion dann jeweils gegen unendlich strebt.
Für das Intervall [mm] [0,\infty] [/mm] gilt somit, dass f streng monoton wachsend ist.
Probleme macht mir nur der negative Bereich,da ich nicht weiss, wie mit dem Extremum x=-y verfahren werden soll.
Oder gilt: Da f immer größer als 0 wenn x ungleich 0 ist, muss an der Stelle x=-y ein Maximum vorliegen?
vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:04 Mi 04.02.2009 | | Autor: | kernmeter |
Sorry, mir ist gerade aufgefallen, dass ich natürlich nicht den Funktionswert gegen +/- infinity laufen lasse, sondern das Argument.
Ausserdem frage ich mich, wie ich am besten die lokalen und globalen Extrema brechnen kann.
Ich würde einfach weiter argumentieren, dass x=0 auch ein globales Minimum sein muss, weil f(x) keinen kleineren Wert an nimmt.
x=-y würde ich als lokales Maximum definieren weil sich unter gegebenen Werten evtl noch weitere Maxima ergeben.
Geht das so durch?
vielen Dank
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:16 Mi 04.02.2009 | | Autor: | Fugre |
Hallo Kernmeter,
im Prinzip reicht es, wenn Du Dir die Ableitungen anguckst.
Gilt [mm] f'(x)>0 \forall x \in [a,b] [/mm] so ist die Funktion in diesem Bereich streng monoton steigend, fallend genau umgekehrt.
Hier haben wir:
[mm] f'(x)=e^{x}*x^{y-1}(y+x)>0 [/mm]
Also [mm] f'(x)>0 [/mm] falls [mm] x^{y-1}(y+x)>0 [/mm]
Wenn wir uns den Term anschauen, können wir ausnutzen, dass y gerade ist, denn dadurch ist [mm] x^{y-1}<0 \forall x<0 [/mm] und umgekehrt.
Jetzt noch ein paar Fallunterscheidungen und es sollte klappen.
Schöne Grüße
Nicolas
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