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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:25 Sa 14.01.2006 | | Autor: | oeli1985 |
| Aufgabe | Sei f: [0,1] [mm] \to \IR [/mm] stetig, differenzierbar auf (0,1) und f(0) = 0. Zudem sei die Ableitung f' auf (0,1) streng monoton wachsend.
Zeigen sie, dass die Funktion g(x) = [mm] \bruch{f(x)}{x} [/mm] auf dem Intervall (0,1) streng monoton wächst. |
Hallo zusammen,
ich stehe kurz vor meinen ersten Klausuren und brauche noch ein paar Punkte für die Zulassung. Deshalb würde ich mich freuen, wenn ihr mal über meine Ergebnisse schauen könntet und mich bestätigt oder berichtigt.
DANKE
[u] Also: [u]
g'(x) = [mm] \bruch{x * f'(x) - f(x)}{ x^{2}} [/mm] (nach Quotientenregel)
z.zg.: [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,1): g'(x) > 0
dazu:
f' nach Voraussetzung auf (0,1) streng monoton wachsend
[mm] \Rightarrow \forall x_{0} \in [/mm] (0,1): [mm] x_{1} [/mm] > [mm] x_{2} \Rightarrow [/mm] f'( [mm] x_{1}) [/mm] > f'( [mm] x_{2})
[/mm]
[mm] \Rightarrow \forall x_{0} \in [/mm] (0,1): [mm] x_{1} [/mm] > [mm] x_{2} \Rightarrow x_{1} [/mm] * f'( [mm] x_{1}) [/mm] > [mm] x_{2} [/mm] * f'( [mm] x_{2})
[/mm]
außerdem: x * f'(x) > 0 , da hier: x [mm] \in [/mm] (0,1) und f'(x) streng monoton wachsend
noch z.zg.: f(x) < x * f'(x) , denn dann: Fallunterscheidung
1.Fall:
f(x) < 0
2.Fall:
0 < f(x) < x * f'(x)
dazu:
sei f(x) := a [mm] x^{n}+b x^{n-1}+c x^{n-2}+ [/mm] ... + zx , wobei die Potenzen nicht kleiner Null sein können, da f(0)=0 gilt bzw. existiert und a,b,...,z [mm] \in \IR [/mm] beliebig
f(x) = a [mm] x^{n}+b x^{n-1}+c x^{n-2}+ [/mm] ... + zx [mm] \Rightarrow [/mm] f'(x) = na [mm] x^{n-1}+(n-1)b x^{n-2}+(n-2)c x^{n-3}+ [/mm] ... + z [mm] \Rightarrow [/mm] x * f'(x) = na [mm] x^{n}+(n-1)b x^{n-1}+(n-2)c x^{n-2}+ [/mm] ... + zx , da n, (n-1), ..., 1 > 0 : x * f'(x) > f(x)
d.h.:
bzgl. 1.Fall: f(x) < 0 , x * f'(x) > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x * f'(x) - f(x) > 0 [mm] \Rightarrow \bruch{ x * f'(x) - f(x)}{ x^{2}} [/mm] > 0
bzgl. 2.Fall: 0 < f(x) < x * f'(x) , x * f'(x) > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] x * f'(x) - f(x) > 0 [mm] \Rightarrow \bruch{ x * f'(x) - f(x)}{ x^{2}} [/mm] > 0
schließlich:
1. und 2. Fall [mm] \Rightarrow \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] (0,1): g'(x) > 0 [mm] \Rightarrow [/mm] g(x) ist auf dem Intervall (0,1) streng monoton wachsend
Also liege ich richtig? Danke für eure Hilfe.
Gruß, Patrick
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:23 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Cirrus78 |
Hallo zusammen.
Ich muss diese Aufgabe auch bearbeiten und stehe dabei ziemlich auf dem Schlauch. Ich habe versucht die Lösung von Patrick nachzuvollziehen und sie scheint mir plausibel zu sein.
Ist diese denn wirklich richtig?
Gruß, Cirrus78
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:49 Mo 16.01.2006 | | Autor: | Julius |
Hallo Patrick, hallo Cirrus!
Nein, die Lösung ist falsch. Die Fallunterscheidung ist undurchsichtig, plötzlich wird angenommen, dass $f$ ein Polynom ist (![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]") ), das macht alles wenig Sinn.
Also, bis zum Punkt mit der Ableitung war es ja richtig.
Nun nehmen wir mal es es gäbe ein $x [mm] \in [/mm] (0,1)$ mit
$x'f(x) - f(x) < 0$.
Dann gäbe es nach dem Mittelwertsatz ein [mm] $\xi \in [/mm] (0,x)$ mit
$f'(x) < [mm] \frac{f(x)}{x} [/mm] = [mm] \frac{f(x) - f(0)}{x-0} [/mm] = [mm] f'(\xi)$,
[/mm]
im Widerspruch zur Monotonie von $f'$.
Liebe Grüße
Julius
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