Monotone Konvergenz < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 20:11 Mo 13.12.2010 | | Autor: | schneva |
| Aufgabe | Es sei [mm] ($\Omega$, $\mathscr{A}$, $\mu$) [/mm] ein Maßraum und es sei $({ [mm] f_n})_{n{\in}{\mathds{N}}}$ [/mm] eine monoton wachsende Folge von Funktionen aus [mm] $\mathscr{E}$*. [/mm] Dann gilt
[mm] $\displaystyle\sup_{n\in\mathds{N}} \int{f_n} \!\ d\mu$ [/mm] = [mm] $\displaystyle\int\sup_{n\in\mathds{N}}{f_n} \!\ d\mu$ [/mm] |
Hallo,
ich soll den Satz der monotonen Konvergenz mit allen nötigen Zwischenschritten beweisen. Ich habe mir schon einige Beweise in verschiedenen Skripten durchgelesen und hätte folgendermaßen angefangen:
[mm] $f:=\sup{f_n}$
[/mm]
Die Existenz einer isotonen Folge [mm] $({v_n})$ [/mm] von Funktionen aus [mm] $\mathscr{E}$* [/mm] muss nachgewiesen werden, mit folgender Bedingung: [mm] $\sup{v_n}=f$ [/mm] und [mm] ${v_n}\le{f_n}$ [/mm] für alle [mm] $n\in\mathds{N}$
[/mm]
Ab da hab ich dann keine Ahnung mehr wie es weiter gehen soll. Es wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte! Danke schonmal!
Liebe Grüße,
schneva
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:22 Di 14.12.2010 | | Autor: | fred97 |
> Es sei ([mm]\Omega[/mm], [mm]\mathscr{A}[/mm], [mm]\mu[/mm]) ein Maßraum und es sei
> [mm]({ f_n})_{n{\in}{\mathds{N}}}[/mm] eine monoton wachsende Folge
> von Funktionen aus [mm]\mathscr{E}[/mm]*. Dann gilt
>
> [mm]\displaystyle\sup_{n\in\mathds{N}} \int{f_n} \!\ d\mu[/mm] =
> [mm]\displaystyle\int\sup_{n\in\mathds{N}}{f_n} \!\ d\mu[/mm]
>
> Hallo,
>
> ich soll den Satz der monotonen Konvergenz mit allen
> nötigen Zwischenschritten beweisen. Ich habe mir schon
> einige Beweise in verschiedenen Skripten durchgelesen und
> hätte folgendermaßen angefangen:
>
> [mm]f:=\sup{f_n}[/mm]
>
> Die Existenz einer isotonen Folge [mm]({v_n})[/mm] von Funktionen
> aus [mm]\mathscr{E}[/mm]* muss nachgewiesen werden, mit folgender
> Bedingung: [mm]\sup{v_n}=f[/mm] und [mm]{v_n}\le{f_n}[/mm] für alle
> [mm]n\in\mathds{N}[/mm]
>
> Ab da hab ich dann keine Ahnung mehr wie es weiter gehen
> soll. Es wäre nett, wenn mir jemand weiterhelfen könnte!
> Danke schonmal!
1. Mathematische Bezeichnungsweisen sind nicht weltweit für immer und ewig festzementiert. Daher wäre es ungemein nett, wenn Du verraten würdest, was [mm]\mathscr{E}[/mm]* bedeutet.
2. Die Folge [mm] (f_n) [/mm] hat doch alle Eigenschaften, die Du von [mm] (v_n) [/mm] forderst
FRED
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> Liebe Grüße,
> schneva
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Di 14.12.2010 | | Autor: | schneva |
Sorry, hab ich vergessen mit dazu zu schreiben
[mm] $\mathscr{E}$* [/mm] ist die Menge aller numerischen Funktionen $ [mm] f\ge0$ [/mm] auf $ [mm] \Omega [/mm] $ zu welchen eine isotone Folge $ [mm] ({v_n}) [/mm] $ von Elementarfunktionen $ [mm] ({v_n})\in \mathscr{E}$ [/mm] exitiert mit [mm] $f=\sup{v_n}$. $\mathscr{E}$ [/mm] ist die Menge aller Elementarfunktionen.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:42 Di 14.12.2010 | | Autor: | schneva |
| Aufgabe | Aufgabe
Es sei ($ [mm] \Omega [/mm] $, $ [mm] \mathscr{A} [/mm] $, $ [mm] \mu [/mm] $) ein Maßraum und es sei $ ({ [mm] f_n})_{n{\in}{\mathds{N}}} [/mm] $ eine monoton wachsende Folge von Funktionen aus $ [mm] \mathscr{E} [/mm] $*. Dann gilt
$ [mm] \displaystyle\sup_{n\in\mathds{N}} \int{f_n} \!\ d\mu [/mm] $ = $ [mm] \displaystyle\int\sup_{n\in\mathds{N}}{f_n} \!\ d\mu [/mm] $ |
Sorry, hab ich vergessen mit dazu zu schreiben
[mm] $\mathscr{E}$* [/mm] ist die Menge aller numerischen Funktionen $ [mm] f\ge0$ [/mm] auf $ [mm] \Omega [/mm] $ zu welchen eine isotone Folge $ [mm] ({v_n}) [/mm] $ von Elementarfunktionen $ [mm] ({v_n})\in \mathscr{E}$ [/mm] exitiert mit [mm] $f=\sup{v_n}$. $\mathscr{E}$ [/mm] ist die Menge aller Elementarfunktionen.
Ich hab mir jetzt nochmal einen Beweis in einem Buch durchgelesen und noch ein paar Fragen dazu in der Hoffnung, dass sie mir jemand beantworten kann.
Es heißt in dem Beweis, dass wenn $ [mm] \sup{v_n}=f [/mm] $ und [mm] ${v_n}\le{f_n} [/mm] $ gilt, dass dann f in [mm] $\mathscr{E}$* [/mm] liegt und dass [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = [mm] \sup\int{v_n} d\mu$ [/mm] und [mm] $\int{v_n}d\mu \le \int{f_n}d\mu$ [/mm] nach der Definition vom Integral gilt.
(1) Daraus folgt dann, dass [mm] $\int fd\mu \le \sup\int{f_n}d\mu$
[/mm]
Folgt das dann daraus, weil [mm] $\int [/mm] f [mm] d\mu [/mm] = [mm] \sup\int{v_n} d\mu$ [/mm] und [mm] ${v_n}\le{f_n} [/mm] $ und somit $ [mm] \int [/mm] f [mm] d\mu= \sup\int{v_n} d\mu \le \sup\int{f_n}d\mu$ [/mm] ist?
(2) Weil [mm] ${f_n} \le [/mm] f$ ist, ist nach der Definition vom Integral [mm] $\sup\int{f_n}d\mu\le \int [/mm] f [mm] d\mu$. [/mm] Wieso ist das so?
(3) Die Existenz der Folge [mm] ${v_n}$ [/mm] muss nachgewiesen werden: Zu jedem [mm] {f_n} [/mm] gibt es nach Definition eine monoton wachsende Folge [mm] {u_m_n} [/mm] m=1,2,... von Funktionen aus [mm] $\mathscr{E}$ [/mm] mit [mm] $\sup{u_m_n} [/mm] = [mm] {f_n}$. [/mm] Gilt das wohl dann nach der Definition von [mm] $\mathscr{E}$*??
[/mm]
(4) Die Funktion [mm] {v_m}:= $\sup({u_m_1},...,{u_m_m})$ [/mm] in [mm] $\mathscr{E}$(m=1,2,...). [/mm] Die Isotonie der Folgen [mm] {(u_m_n)} [/mm] m=1,2,... zieht dann die Isotonie von [mm] (v_m) [/mm] nach sich. Wieso zieht das die Isotonie nach sich? Aus der Isotonie von [mm] (f_m) [/mm] folgt [mm] {v_m}\le{f_m} [/mm] für alle m und damit [mm] $\sup{v_m}\le [/mm] f$. Wo kommt plötzlich das [mm] (f_m) [/mm] her?
(5) Für alle $m [mm] \ge [/mm] n$ hat man [mm] {u_m_n} \le{v_m} [/mm] (Wieso?) und somit dann [mm] $\sup{u_m_n}={f_n}\le\sup{v_m}$ [/mm] n=1,2,....
Heißt das, dass [mm] ${f_n}\le\sup{v_m}\le [/mm] f$ ist wegen [mm] $m\ge [/mm] n$?
(6) Wieso ergibt sich daraus dann [mm] \sup{v_m}=f [/mm] ?
Wäre echt super, wenn mir da jemand helfen kann!
Danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Do 23.12.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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