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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:40 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Riley |
| Aufgabe | Es sei [mm] c_0 [/mm] := [mm] \{ x = (x_j)_{j \in N} : \lim_{j \rightarrow \infty} x_j = 0 \} [/mm] ein normierter Raum mit der Supremumsnorm. Zeige, dass der Momenteoperator T: [mm] L_1[0,1] \rightarrow c_0 [/mm] gegeben durch
[mm] (Tf)_j [/mm] := [mm] \int_0^1 t^j [/mm] f(t) dt
ein stetiger Operator von [mm] L_1[0,1] [/mm] nach [mm] c_0 [/mm] ist. (Zeige auch, dass T in [mm] c_0 [/mm] abbildet). Bestimme [mm] \|T\|_{L_1 \rightarrow c_0}. [/mm] |
Hallo,
ich habe hier nochmal eine Aufgabe, bei der ich nicht so recht weiterkomme.
Also für die Stetigkeit, muss ich ja wieder zeigen, dass das Teil beschränkt ist. (Eigentlich gilt das ja nur, wenn der Operator linear ist, aber das ist er ja). Aber vielleicht sollte ich vorher zeigen, dass T in [mm] c_0 [/mm] abbildet, das ist mir nämlich nicht klar. Also bilden die Zahlen die man für jeweiliges j mit dem Integral ausrechnet eine Folge in [mm] c_0, [/mm] unmathematisch ausgedrückt?
Muss ich dann zeigen, dass
[mm] \lim_{j \rightarrow \infty} \int_0^1 t^j [/mm] f(t) dt = 0 gilt? Nur wie geht das? Was kann ich über das Produkt sagen?
Wäre super, wenn mir jemand weiterhelfen würde...
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:01 Mo 23.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Sei [mm] $f_j(t) [/mm] := t^jf(t)$
Dann konvergiert [mm] (f_j) [/mm] f.ü. auf [0,1] gegen 0. Weiter: [mm] |f_j| \le [/mm] |f| auf [0,1]
Der Konvergenzsatz von Lebesgue besagt nun:
$ [mm] (Tf)_j [/mm] $ = [mm] \integral_{0}^{1}{f_j(t) dt} [/mm] ---> 0 (j---> [mm] \infty)
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 Mo 23.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für die Hinweise.
> Sei [mm]f_j(t) := t^jf(t)[/mm]
>
> Dann konvergiert [mm](f_j)[/mm] f.ü. auf [0,1] gegen 0.
Warum gilt das?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:58 Di 24.03.2009 | | Autor: | fred97 |
Für festes t [mm] \in [/mm] [0,1) ist [mm] (t^j) [/mm] eine Nullfolge
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:01 Di 24.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
ah danke, also mit dem Konvergenzsatz gilt dann da wir eine Majorante haben und die Folge [mm] f_j(t) [/mm] f.ü. gegen Null konvergiert, dass
[mm] \lim_{j \rightarrow \infty} \int_0^1 f_j(t) [/mm] dt = [mm] \int [/mm] 0 dt = 0, also Tf [mm] \in c_0.
[/mm]
Hab ich das so richtig verstanden ?
Für die Stetigkeit muss ich also zeigen, dass
[mm] \| [/mm] T f [mm] \|_{c_0} \leq [/mm] c [mm] \| [/mm] f [mm] \|_{L_1[0,1]} [/mm] für alle f [mm] \in L_1[0,1] [/mm] gilt.
[mm] \| [/mm] Tf [mm] \|_{c_0} [/mm] = [mm] \sup_j [/mm] | [mm] \int_0^1 t^j [/mm] f(t) dt | [mm] \leq \sup_j \int_0^1 |t^j [/mm] f(t)| dt [mm] \leq \int_0^1 [/mm] | f | = [mm] \|f\|_{L_1[0,1]},
[/mm]
wegen [mm] |f_j| \leq [/mm] |f| auf [0,1].
Irgendwie sieht das komisch aus mit dem Integral da drin, stimmt das so?
Dann wäre c = 1 ?
Und folglich [mm] \| [/mm] T [mm] \|_{L_1 \rightarrow c_0} [/mm] = 1 ?
Viele Grüße,
Riley
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:21 Di 24.03.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
> ah danke, also mit dem Konvergenzsatz gilt dann da wir
> eine Majorante haben und die Folge [mm]f_j(t)[/mm] f.ü. gegen Null
> konvergiert, dass
>
> [mm]\lim_{j \rightarrow \infty} \int_0^1 f_j(t)[/mm] dt = [mm]\int[/mm] 0 dt
> = 0, also Tf [mm]\in c_0.[/mm]
>
> Hab ich das so richtig verstanden ?
Ja
>
> Für die Stetigkeit muss ich also zeigen, dass
>
> [mm]\|[/mm] T f [mm]\|_{c_0} \leq[/mm] c [mm]\|[/mm] f [mm]\|_{L_1[0,1]}[/mm] für alle f [mm]\in L_1[0,1][/mm]
> gilt.
>
> [mm]\|[/mm] Tf [mm]\|_{c_0}[/mm] = [mm]\sup_j[/mm] | [mm]\int_0^1 t^j[/mm] f(t) dt | [mm]\leq \sup_j \int_0^1 |t^j[/mm]
> f(t)| dt [mm]\leq \int_0^1[/mm] | f | = [mm]\|f\|_{L_1[0,1]},[/mm]
> wegen [mm]|f_j| \leq[/mm] |f| auf [0,1].
>
> Irgendwie sieht das komisch aus mit dem Integral da drin,
> stimmt das so?
Ja
> Dann wäre c = 1 ?
> Und folglich [mm]\|[/mm] T [mm]\|_{L_1 \rightarrow c_0}[/mm] = 1 ?
Zunächst hast Du nur
[mm]\|[/mm] T [mm]\|_{L_1 \rightarrow c_0}[/mm] [mm] \le [/mm] 1 !!!
FRED
>
> Viele Grüße,
> Riley
>
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 15:43 Di 24.03.2009 | | Autor: | Riley |
Hallo,
danke für die Korrketur.
> > Dann wäre c = 1 ?
> > Und folglich [mm]\|[/mm] T [mm]\|_{L_1 \rightarrow c_0}[/mm] = 1 ?
>
> Zunächst hast Du nur
>
> [mm]\|[/mm] T [mm]\|_{L_1 \rightarrow c_0}[/mm] [mm]\le[/mm] 1 !!!
>
Stimmt... hast du einen Tipp wie ich es noch andersrum abschätzen kann?
Viele Grüße,
Riley
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:20 Fr 27.03.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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