Momente und Unabhängigkeit < math. Statistik < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Do 12.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
| Aufgabe | Momente und Unabhängigkeit
a) Beim Wurf zweier idealer Würfel seien Zufallsvariablen X und Y definiert durch
[mm] X=\begin{cases} 1, & \mbox{ } \mbox{ Augensumme gerade} \\ 0, & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm]
[mm] Y=\begin{cases} 0, & \mbox{ } \mbox{ beide Augenzahlen gerade} \\ -1, & \mbox{ } \mbox{ beide Augenzahlen ungerade} \\ 1, & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases} [/mm]
Berechnen Sie E(Y) und Var(Y). Sind X und Y stochastisch unabhängig?
b) Die Zufallsvariable Z sei stetig verteilit mit der Dichte
[mm] f(z)=\begin{cases} \bruch{c}{z^{4}}, & \mbox{für } z>1 \mbox{ } \\ 0, & \mbox{ } \mbox{ sonst} \end{cases}
[/mm]
Ermitteln Sie die Konstante c. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit [mm] P(|Z-2|\le1) [/mm] und bestimmen Sie E(Z), [mm] E(Z^{2}) [/mm] und Var(Z). |
Lieber Matheraum,
Musterlösung zu a)
Es gelten [mm] P(X=1)=P(X=0)=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] P(Y=0)=P(Y=-1)=\bruch{1}{4} [/mm] und [mm] P(Y=1)=\bruch{1}{2}. [/mm] Also erhalten wir
[mm] E(X)=\bruch{1}{2}
[/mm]
[mm] E(Y)=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] E(Y^{2})=\bruch{3}{4}
[/mm]
[mm] Var(Y)=\bruch{11}{16}
[/mm]
Für Cov(X,Y) gilt
E(XY)=1*1*P(X=1,Y=1)+1*(-1)*P(X=1,Y=-1)+0*...
[mm] =1*0-1*\bruch{1}{4}=-\bruch{1}{4}
[/mm]
Meine eigene Berechnung für E(XY) lautet
[mm] P(1,0)=\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] P(1,-1)=\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] P(1,1)=\bruch{1}{4}
[/mm]
[mm] P(0,0)=\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] P(0,-1)=\bruch{1}{8}
[/mm]
[mm] P(0,-1)=\bruch{1}{4}
[/mm]
Demnach erhalte ich:
[mm] \bruch{1}{8}(1-\bruch{1}{2})(0-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{8}(1-\bruch{1}{2})(-1-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{4}(1-\bruch{1}{2})(1-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{8}(0-\bruch{1}{2})(0-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{8}(0-\bruch{1}{2})(-1-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{4}(0-\bruch{1}{2})(1-\bruch{1}{4})=0
[/mm]
Meine Fragen:
1.) Woher kennt man auf Anhieb diese Wahrscheinlichkeiten: Es gelten [mm] P(X=1)=P(X=0)=\bruch{1}{2} [/mm] und [mm] P(Y=0)=P(Y=-1)=\bruch{1}{4} [/mm] und [mm] P(Y=1)=\bruch{1}{2}.?
[/mm]
2.) Was genau ist an meiner eigenen Berechnung von E(XY) falsch?
Gruß, Marcel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:02 Do 12.02.2009 | | Autor: | oLman |
Naja.. ich versuchs dir mal am Beispiel E(Y) zu erklären..
Hilfreich ist erstmal die Erstellung des Ergebnisraumes.. Beispielsweise mal für P(Y=0)=P("Augensumme gerade")... Wann tritt dieses Ereignis auf?
P(Y=0)={22,44,66,24,26,42,62,46,64}=9/36=1/4
Bei den anderen gehts analog..
Tipp: Das errechnen der Varianz klappt super einfach mit dem Verschiebungssatz...
Var(Y) = E(X²) - E(X)²
Hoffe ich konnte dir weiterhelfen... Die Aufgaben kommt mir auch sehr bekannt vor, schreibst du auch zufällig Statistik1 an der TUD?
LG
oLman
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:43 Do 12.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> Naja.. ich versuchs dir mal am Beispiel E(Y) zu erklären..
>
> Hilfreich ist erstmal die Erstellung des Ergebnisraumes..
> Beispielsweise mal für P(Y=0)=P("Augensumme gerade")...
> Wann tritt dieses Ereignis auf?
>
> P(Y=0)={22,44,66,24,26,42,62,46,64}=9/36=1/4
Bei der Zufallsvariablen Y geht es doch nicht um die gerade Augensumme, oder sehe ich das falsch? Wenn denn wirklich die gerade Augensumme gemeint wäre, was wäre dann mit den Möglichkeiten 11,33,55,13,15,...?
Vielleicht hast du dich verschrieben und meintest "beide Augenzahlen gerade"?
Ich habe jedenfalls mal dein System für P(X=1) probiert. Mein Wahrscheinlichkeitsraum lautet demnach:
[mm] \Omega_{P(X=1)}=(11,33,55,22,44,66,13,31,15,51,35,53,24,42,26,62,46,64)
[/mm]
also
[mm] P(X=1)=\bruch{18}{63}=\bruch{2}{7}
[/mm]
Was mache ich hier falsch?
> Bei den anderen gehts analog..
>
> Tipp: Das errechnen der Varianz klappt super einfach mit
> dem Verschiebungssatz...
>
> Var(Y) = E(X²) - E(X)²
Was hat die Varianz von Y mit dem Erwartungswert von X zu tun?
> Hoffe ich konnte dir weiterhelfen... Die Aufgaben kommt mir
> auch sehr bekannt vor, schreibst du auch zufällig
> Statistik1 an der TUD?
Ja! 
> LG
> oLman
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:46 Do 12.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Ich habe es verstanden, danke schön.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:38 Do 12.02.2009 | | Autor: | luis52 |
> Meine eigene Berechnung für E(XY) lautet
>
>
> [mm]P(1,0)=\bruch{1}{8}[/mm]
>
> [mm]P(1,-1)=\bruch{1}{8}[/mm]
>
> [mm]P(1,1)=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> [mm]P(0,0)=\bruch{1}{8}[/mm]
>
> [mm]P(0,-1)=\bruch{1}{8}[/mm]
>
> [mm]P(0,-1)=\bruch{1}{4}[/mm]
Das stimmt nicht. Die gemeinsame Verteilung von X und Y ist wie folgt:
| 1: |
| | 2: | 0 1
| | 3: | 1 0.5 0.00
| | 4: | 0 0.0 0.25
| | 5: | -1 0.0 0.25
|
>
>
>
> Demnach erhalte ich:
>
>
> [mm]\bruch{1}{8}(1-\bruch{1}{2})(0-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{8}(1-\bruch{1}{2})(-1-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{4}(1-\bruch{1}{2})(1-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{8}(0-\bruch{1}{2})(0-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{8}(0-\bruch{1}{2})(-1-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{4}(0-\bruch{1}{2})(1-\bruch{1}{4})=0[/mm]
>
>
>
> Meine Fragen:
>
>
> 1.) Woher kennt man auf Anhieb diese Wahrscheinlichkeiten:
> Es gelten [mm]P(X=1)=P(X=0)=\bruch{1}{2}[/mm] und
> [mm]P(Y=0)=P(Y=-1)=\bruch{1}{4}[/mm] und [mm]P(Y=1)=\bruch{1}{2}.?[/mm]
Das sind die Randsummen in der obigen Tabelle.
>
> 2.) Was genau ist an meiner eigenen Berechnung von E(XY)
> falsch?
s.o.
vg Luis
PS: Bitte nicht unterschiedliche Frage stellen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:11 Do 12.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
> > Meine eigene Berechnung für E(XY) lautet
> >
> >
> > [mm]P(1,0)=\bruch{1}{8}[/mm]
> >
> > [mm]P(1,-1)=\bruch{1}{8}[/mm]
> >
> > [mm]P(1,1)=\bruch{1}{4}[/mm]
> >
> > [mm]P(0,0)=\bruch{1}{8}[/mm]
> >
> > [mm]P(0,-1)=\bruch{1}{8}[/mm]
> >
> > [mm]P(0,-1)=\bruch{1}{4}[/mm]
>
> Das stimmt nicht. Die gemeinsame Verteilung von X und Y ist
> wie folgt:
>
> | 1: |
| | 2: | > 0 1
| | 3: | > 1 0.5 0.00
| | 4: | > 0 0.0 0.25
| | 5: | > -1 0.0 0.25
| | 6: | > |
> >
> >
> >
> > Demnach erhalte ich:
> >
> >
> >
> [mm]\bruch{1}{8}(1-\bruch{1}{2})(0-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{8}(1-\bruch{1}{2})(-1-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{4}(1-\bruch{1}{2})(1-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{8}(0-\bruch{1}{2})(0-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{8}(0-\bruch{1}{2})(-1-\bruch{1}{4})+\bruch{1}{4}(0-\bruch{1}{2})(1-\bruch{1}{4})=0[/mm]
> >
> >
> >
> > Meine Fragen:
> >
> >
> > 1.) Woher kennt man auf Anhieb diese Wahrscheinlichkeiten:
> > Es gelten [mm]P(X=1)=P(X=0)=\bruch{1}{2}[/mm] und
> > [mm]P(Y=0)=P(Y=-1)=\bruch{1}{4}[/mm] und [mm]P(Y=1)=\bruch{1}{2}.?[/mm]
>
> Das sind die Randsummen in der obigen Tabelle.
Schöne Erklärung, ich danke dir.
> > 2.) Was genau ist an meiner eigenen Berechnung von E(XY)
> > falsch?
>
> s.o.
>
> vg Luis
>
> PS: Bitte nicht unterschiedliche Frage stellen.
>
Alles klar.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:26 Do 12.02.2009 | | Autor: | luis52 |
@Marcel: Sind deine Fragen zu der Aufgabe jetzt beantwortet?
vg Luis
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:45 Do 12.02.2009 | | Autor: | Marcel08 |
Ja vielen Dank, deine Tabelle war sehr hilfreich. Vielen Dank auch an oLman.
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